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第1篇：數(shù)學(xué)建模魯棒性分析范文

關(guān)鍵字:鎖相環(huán);數(shù)學(xué)建模;穩(wěn)定性分析

1概述

在VLSI系統(tǒng)中,鎖相環(huán)常被用于生成高頻時(shí)鐘。由于系統(tǒng)工作頻率在不斷的升高,鎖相環(huán)的輸出頻率也必須相應(yīng)的提高,此外隨著工藝尺寸的縮小,晶體管集成度在不斷增加,PLL需要工作在更嘈雜的噪聲環(huán)境中,電荷注入和時(shí)鐘饋通等帶來(lái)的紋波也增加了鎖相環(huán)的抖動(dòng),所有這些都使得鎖相環(huán)的低抖動(dòng)設(shè)計(jì)面臨著更大的挑戰(zhàn)。

在文獻(xiàn)[1]中,John G. Maneatis提出了一款2階自偏置鎖相環(huán),該系統(tǒng)具有大的工作帶寬,優(yōu)良的低抖動(dòng)特性和很好的魯棒性能。但是不足的是該P(yáng)LL仍然是二階系統(tǒng)。二階系統(tǒng)濾波器設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單,系統(tǒng)穩(wěn)定性較好,但是對(duì)噪聲的抑制效果遠(yuǎn)沒(méi)有高階的好,不能滿足更高要求的低抖動(dòng)設(shè)計(jì)。

高階鎖相環(huán)可以有效地衰減高頻分量和抑制紋波,具有較好的低抖動(dòng)性能,但是高階鎖相環(huán)存在多個(gè)極點(diǎn),極大的增加了系統(tǒng)穩(wěn)定性的設(shè)計(jì)難度。在系統(tǒng)級(jí)對(duì)PLL進(jìn)行穩(wěn)定性分析以及濾波器參數(shù)選擇也變得更加復(fù)雜。本文將基于一款三階自偏置鎖相環(huán)進(jìn)行分析,建立其系統(tǒng)級(jí)數(shù)學(xué)建模,推導(dǎo)出該鎖相環(huán)的性能參數(shù),并根據(jù)此數(shù)學(xué)模型,得到系統(tǒng)響應(yīng)的波特圖,依此分析了該系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并由此來(lái)確定濾波器的參數(shù)。利用數(shù)學(xué)模型可以簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確的分析系統(tǒng)特性,并有效的指導(dǎo)電路設(shè)計(jì)。

本文第2節(jié)介紹了三階自偏置鎖相環(huán)的結(jié)構(gòu),第3節(jié)建立了其的數(shù)學(xué)模型并量化分析其系統(tǒng)性能參數(shù),第4節(jié)中,利用波特圖分析了該系統(tǒng)的穩(wěn)定性能,第5節(jié)給出了系統(tǒng)級(jí)和電路級(jí)的仿真結(jié)果。

2三階自偏置鎖相環(huán)的結(jié)構(gòu)

三階自偏置電荷泵鎖相環(huán)的結(jié)構(gòu)如圖1所示,它由鑒頻鑒相器(PFD)、電荷泵(CP)、環(huán)路濾波器(LF)、壓控振蕩器(VCO)、偏置電路(BG)和一個(gè)N分頻器構(gòu)成。與傳統(tǒng)的鎖相環(huán)不同的是,這里增加了一個(gè)偏置電路(BG)部件,該部件可以自己選擇最佳工作偏置點(diǎn),該偏置點(diǎn)只與工作頻率相關(guān)[1]。

如圖1所示,PFD檢測(cè)VCO分頻后的時(shí)鐘與參考時(shí)鐘之間的相位差,其檢測(cè)結(jié)果驅(qū)動(dòng)著電荷泵充電或者放電。環(huán)路濾波器將電流轉(zhuǎn)換成控制電壓,并濾掉交流電壓分量,產(chǎn)生一個(gè)穩(wěn)定的控制電壓給偏置電路,偏置電路產(chǎn)生一個(gè)對(duì)噪聲不敏感的VCO控制電壓。當(dāng)鎖相環(huán)鎖定時(shí),VCO就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)N倍于參考時(shí)鐘振蕩頻率的穩(wěn)定時(shí)鐘。

在現(xiàn)在的VLSI設(shè)計(jì)中,各種各樣的噪聲增加了低抖動(dòng)的設(shè)計(jì)難度。此外,在PFD檢測(cè)到相位差時(shí),電荷注入和時(shí)鐘潰通都引起較大的紋波,增加了抖動(dòng)。出于低抖動(dòng)性能的考慮,環(huán)路濾波器(LF)用了二階濾波器代替了常用的一階濾波器,所以整個(gè)鎖相環(huán)是一個(gè)三階負(fù)反饋系統(tǒng),這樣可以有效地抑制溫波,減小抖動(dòng)。接下來(lái)的兩章,將詳細(xì)介紹該鎖相環(huán)的數(shù)學(xué)建模和穩(wěn)定性分析。

3數(shù)學(xué)建模

鎖相環(huán)可以用一個(gè)連續(xù)時(shí)間負(fù)反饋系統(tǒng)來(lái)表示,其性能可轉(zhuǎn)移到頻域區(qū)分析。本章首先將建立頻率響應(yīng)函數(shù),根據(jù)響應(yīng)函數(shù)得到詳細(xì)的性能參數(shù)。

3.1 環(huán)路濾波器(LF)響應(yīng)函數(shù)

環(huán)路濾波器的作用是將電流轉(zhuǎn)換成電壓,同時(shí)濾除高頻噪聲,對(duì)鎖相環(huán)的性能起決定性作用?，F(xiàn)代鎖相環(huán)中一般采用結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的無(wú)源濾波器,這里我們使用了兩階濾波器,如圖2所示。

圖2是一個(gè)二階無(wú)源阻抗型的濾波器,是一個(gè)將電流轉(zhuǎn)換到電壓的積分電路,其傳遞函數(shù)為:

F■(s)=■ (1)

3.2 PLL系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)

該P(yáng)LL是一個(gè)三階負(fù)反饋系統(tǒng)。我們?cè)O(shè)定I■為電荷泵的電流,K■為電荷泵的增益,N為分頻系數(shù)。輸出函數(shù)P■(s)與P■(s)輸入的關(guān)系可以寫(xiě)為:

P■(s)=(P■(s)-P■(s)/N)

×■■K■■(2)

由此可以得到PLL系統(tǒng)閉環(huán)傳輸函數(shù)Hclose(s)和開(kāi)環(huán)傳輸函數(shù)Hopen(s)分別是:

H■(s)=■

=■(3)

H■(s)=■■(4)

3.3 量化分析

在傳統(tǒng)的鎖相環(huán)中,I■ 和R都是定量,這使得決定系統(tǒng)性能的兩個(gè)參數(shù)ζ(阻尼因子)和 ωN(帶寬)也是一個(gè)定值。為了減小抖動(dòng),要求帶寬越大越好,但是為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性,帶寬需要做到工作頻率的十分之一以下[1]。這就導(dǎo)致了穩(wěn)定性和抖動(dòng)性能之間的沖突,在設(shè)計(jì)的時(shí)候必須保證最低工作頻率下的穩(wěn)定性,有可能使得在較高頻率工作時(shí)的抖動(dòng)性能不理想。而在自偏置鎖相環(huán)中,IP和R都是變量,帶寬與工作頻率的比值是一個(gè)定值,這樣在高工作頻率時(shí)也能得到很好的抖動(dòng)性能。三階以上的高階鎖相環(huán)其帶寬和阻尼因子的計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜,但是如果C2是C1的1/5以下時(shí)就可以將此三階系統(tǒng)近似為兩階系統(tǒng)來(lái)分析[2]。所以公式(1)可以近似為:

F■(s)=R■+■(5)

那么開(kāi)環(huán)傳輸函數(shù)可以簡(jiǎn)化為:

P■(s)=(P■(s)-■)?■

?R+■?K■?■(6)

公式6可以變形為:

■=N?■ (7)

其中,

?灼=■?■(8)

ω■=■(9)

在自偏置鎖相環(huán)中, R與■成反比,■與輸出頻率成正比[1],所以在鎖定的情況下,■與參考時(shí)鐘也成正比。這樣ζ和ω■ /ωREF都是固定的值。所以這個(gè)PLL在滿足穩(wěn)定性的同時(shí),在整個(gè)工作帶寬內(nèi)都可實(shí)現(xiàn)良好的低抖動(dòng)特性。

4系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

4.1穩(wěn)定性概念

對(duì)于負(fù)反饋系統(tǒng),它的閉環(huán)函數(shù)可以寫(xiě)為:

■(s)=■ (10)

我們注意到如果NH(s)=-1,上式的增益將趨于無(wú)窮大,電路可以將自身的噪聲無(wú)限放大直到振蕩。所以反饋系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足當(dāng)H(jω)=1 時(shí)有下式成立[2]:

∠H(jω)< -180°,當(dāng)H(jω)=1時(shí)(11)

分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法有很多,其中較為簡(jiǎn)單實(shí)用的是波特圖的方法?？梢园压?變形為:

H■(s)=K■(12)

其中T■=C■R, K=■, T■=■

這個(gè)系統(tǒng)有三個(gè)極點(diǎn),ω2=1/T2是其中一個(gè),另外兩個(gè)都在原點(diǎn)。是ω1=1/T1唯一的零點(diǎn)。ω2>ω1必須恒定成立,以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。依據(jù)公式(3)和(4),得到系統(tǒng)的波特圖如圖3所示。

可以看出,該鎖相環(huán)在原點(diǎn)處有兩個(gè)極點(diǎn),幅頻特性呈二階衰減特性下降,相移也達(dá)到-180°,然后系統(tǒng)引入的零點(diǎn)ω1使鎖相環(huán)呈單階衰減的特性,相位朝著-90°的方向移動(dòng),即有了相位裕度,使得鎖相環(huán)能夠穩(wěn)定成為可能。為了有更好的高頻衰減特性,環(huán)路濾波器引入的另一個(gè)極點(diǎn)ω2,使鎖相環(huán)再次進(jìn)入二階衰減的特性,所以高頻噪聲得到有效衰減。

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從圖中也可以看出穩(wěn)定性能和抖動(dòng)性能的折中關(guān)系。如果ω2遠(yuǎn)大于ω1,我們能得到較大的相位裕度,這樣系統(tǒng)等穩(wěn)定性會(huì)很好,但是對(duì)高頻噪聲的去除效果并不好。如果ω2離ω1較近,對(duì)高頻噪聲抑制較好,但是穩(wěn)定性能較差。所以濾波器參數(shù)的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了穩(wěn)定性、抖動(dòng)性能等參數(shù)之間的折中,通常會(huì)取相位裕度在55°左右[2]。

為了確定合理的濾波器參數(shù),重要的是要知道在ω1

用s=jw帶入公式(4)中可得到

H■(s)=■■ (13)

相位裕度公式為:

φ■=arctg(wC■R)=arctg■+180°(14)

將公式(14)進(jìn)行求導(dǎo)取最大值,相位裕度函數(shù)的最大值處于頻率ωopt,它是ω1和ω2的幾何平均數(shù),即:

ω■=■(15)

我們希望截止頻率具有足夠的相位裕度,因此選取截止頻率等于ω■是最佳的選擇,在實(shí)際的高性能PLL設(shè)計(jì)中,已經(jīng)證明,選擇ω2/ω1比值近似為10較為有利[2],我們既可以獲得足夠的相位裕度,保證鎖相環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,而且還不至于使三階極點(diǎn)離中心太遠(yuǎn),造成去抖效果不理想。

5仿真結(jié)果

基于此數(shù)學(xué)模型,在采用matlab對(duì)PLL系統(tǒng)級(jí)進(jìn)行仿真,其VCO的控制電壓曲線的仿真波形如圖4所示,可見(jiàn)系統(tǒng)大約在0.7微秒就已經(jīng)穩(wěn)定下來(lái),控制電壓沒(méi)有出現(xiàn)寬幅的震蕩,說(shuō)明此系統(tǒng)具有較好的穩(wěn)定性。

根據(jù)此數(shù)學(xué)模型,在65nm工藝下實(shí)現(xiàn)了自偏置鎖相環(huán)的電路和版圖設(shè)計(jì)。使用hspice對(duì)電路進(jìn)行仿真,控制電壓的仿真曲線如圖5所示,可以看到PLL的控制電壓在0.6微妙左右也穩(wěn)定下來(lái),工作曲線與數(shù)學(xué)模型的曲線基本吻合。

圖6是該P(yáng)LL整體版圖,其中關(guān)鍵部件只占很少的面積,大部分面積被電容和去耦電容占據(jù)。

其輸出波形及抖動(dòng)測(cè)量如圖7所示,仿真工具為hspice,仿真條件是:電壓為1V,溫度為75℃,corner為T(mén)T。

表1中列出了三個(gè)輸出頻率下的性能參數(shù),仿真條件同上。由于工作條件和初始狀態(tài)的不同,鎖定時(shí)間也略有差別,在整個(gè)工作頻率范圍內(nèi),抖動(dòng)都能控制在15ps以內(nèi)。

此外,為了測(cè)試該電路的魯棒性能,分別對(duì)電壓和電容有偏差的情況作了仿真,仿真結(jié)果顯示:壓差在15%以內(nèi),容差在30%以內(nèi)時(shí),該電路均可正常工作。

6總結(jié)

本文從系統(tǒng)級(jí)對(duì)三階自偏置鎖相環(huán)進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模,以一種簡(jiǎn)潔的方法分析了高階鎖相環(huán)的性能參數(shù)以及穩(wěn)定性。從仿真結(jié)果來(lái)看,這種建模分析的方法可以有效的表征系統(tǒng)特性,并指導(dǎo)電路設(shè)計(jì)。基于此數(shù)學(xué)模型完成了三階自偏置鎖相環(huán)的電路和版圖設(shè)計(jì),其輸出頻率范圍為400MHz~2GHz,在工作范圍內(nèi)抖動(dòng)可控制在15ps以內(nèi)。

本文是從系統(tǒng)級(jí)對(duì)鎖相環(huán)進(jìn)行分析,沒(méi)有涉及到電路的設(shè)計(jì),且對(duì)該鎖相環(huán)自偏置的原理沒(méi)有過(guò)多的說(shuō)明。這些都是值得研究和探討的地方,將在后續(xù)的工作中繼續(xù)研究。

參考文獻(xiàn)

[1] Roland E. Best, Phase-Locked Loops Design, Simulation, And Applications, McGraw-Hill, 1999

[2] J.Maneatis, Low_Jitter and Process-Independent DLL and PLL Based on self-Biased Techniques ISSCC, 1996

[3] John G. Maneatis and Mark A. Horowitz, Precise Delay Generation Using Coupled Oscillators, IEEE JSSC, Vol. 28. No 12 . Dec 1993

[4] 周潤(rùn)德 等譯, 數(shù)字集成電路, 電子工業(yè)出版社, 2004.

第2篇：數(shù)學(xué)建模魯棒性分析范文

關(guān)鍵詞：卡里巴水壩 拆除 替代 詳細(xì)分析 新的水壩系統(tǒng)

中圖分類號(hào)：TV631 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2017）04（a）-0095-04

Detailed Analysis of the Acquisition and Optimization of the New Kariba Dam System

Yang Shuhan

（The Dalian university of technology， Dalian Liaoning， 116024， China）

Abstract： The Kariba Dam on the Zambezi River is one of the larger dams in Africa. Its construction was controversial， and a 2015 report by the Institute of Risk Management of South Africa included a warning that the dam is in dire need of maintenance. A number of options are available to the Zambezi River Authority （ZRA） that might address the situation. One of the options is： Removing the Kariba Dam and replacing it with a series of ten to twenty smaller dams along the Zambezi River. This paper provides the detailed analysis of this option. That is under the condition that this new system of dams have the same overall water management capabilities as the existing Kariba Dam while providing the same or greater levels of protection， giving water management options for Lake Kariba that are in place with the existing dam. The analysis includes a strategy for modulating the water flow through the new multiple dam system that provides a reasonable balance between safety and costs. In addition to addressing known or predicted normal water cycles， the strategy should explains and justifies the actions that should be taken to properly handle emergency water flow situations （i.e. flooding and/or prolonged low water conditions）. This paper can provide guidance to the ZRA if they choose this option to solve the problem to some extent.

Key Words： The Kariba Dam； Removing； Replacing； Detailed analysis； New system of dams

在大蔚氖褂悶詡洌故障是不可避免的。而且，有必要強(qiáng)調(diào)的是，卡里巴水壩在南非數(shù)千人的日常生活中是非常重要的。因此許多組織都非常注意卡里巴大壩的問(wèn)題。2008年2月6日，BBC報(bào)告說(shuō)，大雨可能會(huì)導(dǎo)致水從大壩中被釋放出來(lái)，這將迫使下游的50 000居民進(jìn)行疏散。上升的水平線導(dǎo)致了2010年3月閘門(mén)的開(kāi)閘，這需要居住在洪泛區(qū)的13萬(wàn)人疏散，并且洪水可能蔓延到附近地區(qū)引起了廣泛的關(guān)注[1]。

為了方案的順利實(shí)施，我們考慮了盡可能多的方面。從新壩的選址到對(duì)周?chē)h(huán)境的影響，從建設(shè)成本到這些小水壩的收益，從新壩建設(shè)對(duì)當(dāng)?shù)厝嗣竦娘L(fēng)險(xiǎn)評(píng)估到所需動(dòng)力和水量的最低要求等。下面將通過(guò)設(shè)置適當(dāng)?shù)哪Ｐ筒⒛Ｐ团c實(shí)際結(jié)合給出細(xì)節(jié)分析，并借用虛擬數(shù)據(jù)來(lái)體現(xiàn)我們?cè)谟?jì)算機(jī)程序中的想法。我們最終目標(biāo)的關(guān)鍵點(diǎn)是達(dá)到合理性和可行性。

1 詳細(xì)分析過(guò)程的概述

首先，有幾個(gè)解決卡里巴大壩故障問(wèn)題的相關(guān)要點(diǎn)：卡里巴湖的水容量調(diào)節(jié)能力；居民財(cái)產(chǎn)和生命安全；新壩系統(tǒng)的防洪能力；優(yōu)化新壩的位置；得到的所有方案的比較；變量和一般規(guī)律；結(jié)果和事實(shí)之間的關(guān)聯(lián)程度。

然后，基于這些想法，我們確認(rèn)了我們工作的順序。

（1）根據(jù)假設(shè)找到所需數(shù)據(jù)。

（2）使用已有數(shù)據(jù)和我們的想象力建立模型。

（3）驗(yàn)證模型并在要點(diǎn)的基礎(chǔ)上改進(jìn)缺點(diǎn)。

（4）總結(jié)所有所得，給出一個(gè)或多個(gè)解決方案。

2 假設(shè)

在建模后，通^調(diào)整變量，找出隨著資金總數(shù)的增加，水庫(kù)蓄水能力達(dá)到最優(yōu)時(shí)所對(duì)應(yīng)的建壩位置、規(guī)模、數(shù)量之間隱含的變化關(guān)系。從所有可行方案中選取成本合適、對(duì)水資源調(diào)節(jié)能力較強(qiáng)的一組，通過(guò)查找數(shù)據(jù)模擬河流以年為周期的水流變化情況，制定合理的調(diào)水方案，在保證水庫(kù)安全的情況下盡量少放水、均勻放水，同時(shí)保證人們用水。

3 模型描述

3.1 一級(jí)模型

3.1.1 理想河

根據(jù)當(dāng)?shù)夭糠盅睾映鞘械暮０螖?shù)據(jù)，我們做出了一定范圍內(nèi)河流海拔高度與距離源頭距離的擬合曲線，將整條河流模擬成了理想化的形式。

河道為平滑的梯形：為了使河流寬度貼近真實(shí)數(shù)據(jù)，在保證河道寬度的最大值、最小值和平均值的情況下，通過(guò)隨機(jī)數(shù)模擬河道寬度；假定在不存在大壩干擾河流水量的情況下，河流單位面積的水流量相同，且水面與河道底部平行。

3.1.2 理想壩

理想壩是一個(gè)建在梯形河道上的大壩，其在正常蓄水位下便可以把水完全攔截，不必?fù)?dān)心水從河道中溢出。正常蓄水位以下均為水壩可調(diào)節(jié)庫(kù)容。

3.2 二級(jí)模型

在理想河模型上我們共獲得了45個(gè)等距的可以建造水壩的點(diǎn)。我們可以在此基礎(chǔ)上獲取每個(gè)可選壩址的信息并通過(guò)下面提及的公式與函數(shù)大致算出不同大小、不同位置的大壩的性能及成本。隨后，我們利用退火算法得到最優(yōu)的解決方案，即在同一工程造價(jià)下收益最多的方案。

3.3 三級(jí)模型

在我們找到新壩群合適的位置和規(guī)模后，原有水量將根據(jù)水庫(kù)現(xiàn)有水量和規(guī)模分配給每個(gè)水庫(kù)。在電腦上模擬徑流是通過(guò)基于多年最大徑流量，最小徑流量和平均徑流量的隨機(jī)數(shù)法。為計(jì)算各壩的月流入量、月流出量和現(xiàn)有存儲(chǔ)量并給出適當(dāng)?shù)姆峙浜瓦\(yùn)輸水的方法，我們?yōu)樗畮?kù)設(shè)置了最高和最低安全水位。

4 模型建立

4.1 一級(jí)模型

根據(jù)我們的理解與假設(shè)，我們首先要能夠得到壩址以解決選址問(wèn)題。所以我們的初級(jí)任務(wù)是基于數(shù)據(jù)模擬河流情況。該模型建立后，探索各變量之間的聯(lián)系以得到最優(yōu)解。

根據(jù)公式計(jì)算庫(kù)容：

V=BLH/K （1）

式中：V為水庫(kù)總庫(kù)容；B為壩址的河道寬；L為回水長(zhǎng)度；H為正常蓄水量；K為常數(shù)。

根據(jù)公式計(jì)算回水長(zhǎng)度：

L=H/C （2）

式中：C為河道平均坡度。

根據(jù)公式計(jì)算平均坡度：

C=（d1-d2）/S （3）

式中：d1、d2為海拔高度；S為1和2間的河道長(zhǎng)度。

4.2 二級(jí)模型

二級(jí)模型，見(jiàn)表1。

4.3 三級(jí)模型

（1）使用搜索到的信息限制釋放水的體積；（2）建立線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型；（3）通過(guò)隨機(jī)數(shù)法生成合適的引水方案。

5 模型的檢測(cè)和敏感性分析

5.1 參數(shù)的探討

一些參數(shù)是在討論和查找信息后合理創(chuàng)造的。通過(guò)查找大量的材料我們盡可能多的使用了已有數(shù)據(jù)，在確實(shí)無(wú)法獲得實(shí)際值的情況下才會(huì)自己設(shè)置參數(shù)。我們花費(fèi)了大量的時(shí)間尋找我們建模的數(shù)據(jù)，因?yàn)槲覀兿嘈鸥嗟膶?shí)際數(shù)據(jù)，意味著更準(zhǔn)確和符合現(xiàn)實(shí)的預(yù)測(cè)。

5.1.1 理想河的參數(shù)

用矩形代替梯形河道的行為魯棒性較差并且根據(jù)自然河道的情況，很容易判斷矩形河道是不合理的、無(wú)法使用的。

5.1.2 二級(jí)模型的參數(shù)

正常蓄水量和成本都有著低魯棒性。這是兩個(gè)非常重要的參數(shù)，因?yàn)樗鼈兣c水壩性能和總成本相關(guān)。

5.1.3 三級(jí)模型的參數(shù)

（1） 對(duì)干旱和洪水的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行調(diào)整；（2）增加隨機(jī)數(shù)的波動(dòng)范圍來(lái)影響河流徑流量。被增強(qiáng)的水庫(kù)調(diào)節(jié)能力達(dá)到了足以抵抗洪水的程度，也就是等于擁有了優(yōu)越的魯棒性。

5.2 規(guī)律

通過(guò)對(duì)3組不同造價(jià)的建造方案在組內(nèi)進(jìn)行比較和進(jìn)行組間比較之后得出以下結(jié)論。

（1）隨著造價(jià)的提升，相應(yīng)的最大蓄水量前期變化明顯，后期上升較為緩慢，在造價(jià)約為2.96億時(shí)，性價(jià)比較高，且對(duì)水的調(diào)節(jié)能力有顯著的提高。

（2）在所討論的適宜造價(jià)范圍內(nèi)，造價(jià)相同時(shí)，建較多的大壩性價(jià)比較低，通過(guò)對(duì)性價(jià)比較高的方案的分析，推薦建壩數(shù)量為12～14個(gè)。

（3）通過(guò)對(duì)每個(gè)可建壩點(diǎn)的建壩次數(shù)的累加，可以優(yōu)化適合建壩的位置，在理想模型下，考慮到我們需要大蓄水量，因此推薦選擇河道較為寬闊的地方建壩，且在這樣的位置建立水壩的規(guī)模也往往較大。

（4）通過(guò)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，大壩如果建得過(guò)于密集，其蓄水能力將大打折扣，因此在實(shí)際選擇建壩位置時(shí)，不宜過(guò)密。

6 總結(jié)

6.1 建模結(jié)果

建模結(jié)果見(jiàn)圖1、圖2、表2、表3。

6.2 模型優(yōu)勢(shì)

（1）通過(guò)線性規(guī)劃得到解決方案，如果在這個(gè)問(wèn)題中我們可以得到更準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)，那么方案將更加準(zhǔn)確，這就意味著此算法有改進(jìn)的空間。

（2）退火算法和線性規(guī)劃的方法使解決方案更具有普遍性。類似的問(wèn)題可以通過(guò)僅改變少數(shù)參數(shù)解決。

（3）通過(guò)隨機(jī)數(shù)模擬的方法，可以使模型多變，這便能幫助我們找到一般規(guī)律，這說(shuō)明此模型具有較強(qiáng)的解決問(wèn)題的能力。

（4）所用模型都很易建立。

6.3 模型劣勢(shì)

（1）盡管模型已得到改進(jìn)，它仍然與現(xiàn)實(shí)不同。

（2）信息的缺乏使一些數(shù)據(jù)不夠準(zhǔn)確并會(huì)影響最終結(jié)果的準(zhǔn)確性。

6.4 未來(lái)工作的展望

（1）對(duì)卡里巴水庫(kù)大壩的實(shí)地考察以獲得更多實(shí)際數(shù)據(jù)。

（2）使用新數(shù)據(jù)優(yōu)化方案。

（3）更新不準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。

（4）在情況變得更糟糕前盡快執(zhí)行最佳方案。

7 結(jié)語(yǔ)

該文通過(guò)數(shù)學(xué)建模的思想給出了建造大壩隨著資金增加的變化傾向于一般規(guī)律和調(diào)節(jié)水量的一般方法。經(jīng)過(guò)討論、查閱資料合理制定了一些參數(shù)，提升預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。該文給出的方案可以在安全和成本方面為卡里巴新水壩的水流量系統(tǒng)提供合理的策略。解決已知或預(yù)測(cè)的正常水周期，解釋和證明了正確處理應(yīng)急水流情況應(yīng)當(dāng)采取的行動(dòng)。為日后卡里巴的修繕工程提供一定的幫助。

參考文獻(xiàn)

[1] Kariba Dam[EB/OL].https：///wiki/Kariba_Dam#cite_note-21.

第3篇：數(shù)學(xué)建模魯棒性分析范文

本文作者：工作單位：安徽埃夫特智能裝備有限公司

從控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)角度來(lái)說(shuō)，可以采用辯證法內(nèi)外因基本原理來(lái)分析影響重載機(jī)器人控制品質(zhì)的因素，首先，如果系統(tǒng)存在動(dòng)力學(xué)耦合、柔性等非線性因素，僅僅采用傳統(tǒng)的線性控制很難獲得良好的控制品質(zhì)，底層伺服回路的控制缺陷是影響機(jī)器人控制品質(zhì)的內(nèi)因。第二，如果運(yùn)動(dòng)規(guī)劃環(huán)節(jié)處理不當(dāng)，傳輸給底層運(yùn)動(dòng)控制回路的運(yùn)動(dòng)指令不合理，即存在位置不連續(xù)，速度不連續(xù)，加速度躍變等情況，對(duì)系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的沖擊，即便底層伺服控制設(shè)計(jì)再優(yōu)秀，同樣也會(huì)嚴(yán)重影響系統(tǒng)控制品質(zhì)，這就是所謂的外因。下面就從內(nèi)外因角度對(duì)目前在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和底層伺服控制方面的相關(guān)進(jìn)展進(jìn)行綜述。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法運(yùn)動(dòng)規(guī)劃與軌跡規(guī)劃是指根據(jù)一定規(guī)則和邊界條件產(chǎn)生一些離散的運(yùn)動(dòng)指令作為機(jī)器人伺服回路的輸入指令。運(yùn)動(dòng)規(guī)劃的輸入是工作空間中若干預(yù)設(shè)點(diǎn)或其他運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的約束條件；運(yùn)動(dòng)規(guī)劃的輸出為一組離散的位置、速度和加速度序列。運(yùn)動(dòng)規(guī)劃算法設(shè)計(jì)過(guò)程中主要需要考慮以下三個(gè)問(wèn)題：（1）規(guī)劃空間的選?。和ǔＧ闆r下，機(jī)器人軌跡規(guī)劃是在全局操作空間內(nèi)進(jìn)行的，因?yàn)樵谌植僮骺臻g內(nèi)，對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的軌跡規(guī)劃、避障及幾何約束描述更為直觀。然而在一些情況下，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，運(yùn)動(dòng)規(guī)劃會(huì)轉(zhuǎn)換到關(guān)節(jié)空間內(nèi)完成。在關(guān)節(jié)空間內(nèi)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)劃優(yōu)點(diǎn)如下：a.關(guān)節(jié)空間內(nèi)規(guī)劃可以避免機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)奇異點(diǎn)及自由度冗余所帶來(lái)種種問(wèn)題[1-4]；b.機(jī)器人系統(tǒng)控制量是各軸電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩，用于調(diào)節(jié)各軸驅(qū)動(dòng)力矩的軸伺服算法設(shè)計(jì)通常情況也是在關(guān)節(jié)空間內(nèi)的，因此更容易將兩者結(jié)合起來(lái)進(jìn)行統(tǒng)一考慮[5,6]；c.關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)規(guī)劃可以避免全局操作空間運(yùn)動(dòng)規(guī)劃帶來(lái)的每一個(gè)指令更新周期內(nèi)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆計(jì)算帶來(lái)的計(jì)算量，因?yàn)槿绻噶罡轮芷谳^短，將會(huì)對(duì)CPU產(chǎn)生較大的計(jì)算負(fù)荷。（2）基礎(chǔ)函數(shù)光滑性保證：至少需要位置指令C2和速度指令C1連續(xù)，從而保證加速度信號(hào)連續(xù)。不充分光滑的運(yùn)動(dòng)指令會(huì)由于機(jī)械系統(tǒng)柔性激起諧振，這點(diǎn)對(duì)高速重載工業(yè)機(jī)器人更為明顯。在產(chǎn)生諧振的同時(shí)，軌跡跟蹤誤差會(huì)大幅度增加，諧振和沖擊也會(huì)加速機(jī)器人驅(qū)動(dòng)部件的磨損甚至損壞[7]。針對(duì)這一問(wèn)題，相關(guān)學(xué)者引入高次多項(xiàng)式或以高次多項(xiàng)式為基礎(chǔ)的樣條函數(shù)進(jìn)行軌跡規(guī)劃，其中Boryga利用多項(xiàng)式多根的特性，分別采用5次、7次和9次多項(xiàng)式對(duì)加速度進(jìn)行規(guī)劃，表達(dá)式中僅含有一個(gè)獨(dú)立參數(shù)，通過(guò)運(yùn)動(dòng)約束條件，最終確定參數(shù)值，并比較了各自性能[8]。Gasparetto采用五次B樣條作為規(guī)劃基礎(chǔ)函數(shù)，并將整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中加速度平方的積分作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，以確保運(yùn)動(dòng)指令足夠光滑[9]。劉松國(guó)基于B樣條曲線，在關(guān)節(jié)空間內(nèi)提出了一種考慮運(yùn)動(dòng)約束的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃算法，將運(yùn)動(dòng)學(xué)約束轉(zhuǎn)化為樣條曲線控制頂點(diǎn)約束，可保證角度、角速度和角加速度連續(xù)，起始點(diǎn)和終止點(diǎn)角速度和角加速度可以任意配置[10]。陳偉華則在Cartesian空間內(nèi)分別采用三次均勻B樣條，三次非均勻B樣條，三次非均勻有理B樣條進(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)劃[11]。（3）運(yùn)動(dòng)規(guī)劃中最優(yōu)化問(wèn)題：目前常用的目標(biāo)函數(shù)主要為運(yùn)行時(shí)間、運(yùn)行能耗和加速度。其中關(guān)于運(yùn)行時(shí)間最優(yōu)的問(wèn)題，較為經(jīng)典是Kang和Mckay提出的考慮系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型以及電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩上限的時(shí)間最優(yōu)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃算法，然而該算法加速度不連續(xù)，因此對(duì)于機(jī)器人來(lái)說(shuō)力矩指令也是不連續(xù)的，即加速度為無(wú)窮大，對(duì)于真實(shí)的電驅(qū)伺服系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，這是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的，會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生較大沖擊，大幅度降低系統(tǒng)的跟蹤精度，對(duì)機(jī)械本體使用壽命也會(huì)產(chǎn)生影響[12]。針對(duì)上述問(wèn)題Constantinescu提出了解決方法，在考慮動(dòng)力學(xué)特性的基礎(chǔ)上，增加對(duì)力矩和加速度的約束，并采用可變?nèi)莶罘▽?duì)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解[13]。除了以時(shí)間為優(yōu)化目標(biāo)外，其他指標(biāo)同樣被引入最優(yōu)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃模型中。Martin采用B函數(shù)，以能耗最少為優(yōu)化目標(biāo)，并將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散參數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題，針對(duì)數(shù)值病態(tài)問(wèn)題，提出了具有遞推格式的計(jì)算表達(dá)式[14]。Saramago則在考慮能耗最優(yōu)的同時(shí)，將執(zhí)行時(shí)間作為優(yōu)化目標(biāo)之一，構(gòu)成多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，最終的優(yōu)化結(jié)果取決于兩個(gè)目標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，且優(yōu)化結(jié)果對(duì)于權(quán)重系數(shù)選擇較為敏感[15]。Korayem則在考慮機(jī)器人負(fù)載能力，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩上限和彈性變形基礎(chǔ)上，同時(shí)以在整個(gè)運(yùn)行過(guò)程中的位置波動(dòng)，速度波動(dòng)和能耗為目標(biāo)，給出了一種最優(yōu)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法[6]，然而該方法在求解時(shí)，收斂域較小，收斂性較差，計(jì)算量較大。

考慮部件柔性的機(jī)器人控制算法機(jī)器人系統(tǒng)剛度是影響動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)重要因素。一般情況下，電氣部分的系統(tǒng)剛度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于機(jī)械部分。雖然重載工業(yè)機(jī)器人相對(duì)于輕型臂來(lái)說(shuō)，其部件剛度已顯著增大，但對(duì)整體質(zhì)量的要求不會(huì)像輕型臂那么高，而柔性環(huán)節(jié)仍然不可忽略，原因有以下兩點(diǎn)：（1）在重載情況下，如果要確保機(jī)器人具有足夠的剛度，必然會(huì)增加機(jī)器人部件質(zhì)量。同時(shí)要達(dá)到高速高加速度要求，對(duì)驅(qū)動(dòng)元件功率就會(huì)有很高的要求，實(shí)際中往往是不可實(shí)現(xiàn)（受電機(jī)的功率和成本限制）。（2）即使驅(qū)動(dòng)元件功率能夠達(dá)到要求，機(jī)械本體質(zhì)量加大會(huì)導(dǎo)致等效負(fù)載與電機(jī)慣量比很大，這樣就對(duì)關(guān)節(jié)剛度有較高的要求，而機(jī)器人關(guān)節(jié)剛度是有上限的（主要由減速器剛度決定）。因此這種情況下不管是開(kāi)鏈串聯(lián)機(jī)構(gòu)還是閉鏈機(jī)構(gòu)都會(huì)體現(xiàn)出明顯的關(guān)節(jié)柔性[16,17]，在重載搬運(yùn)機(jī)器人中十分明顯。針對(duì)柔性部件帶來(lái)的系統(tǒng)控制復(fù)雜性問(wèn)題，傳統(tǒng)的線性控制將難以滿足控制要求[17-19]，目前主要采用非線性控制方法，可以分成以下幾大類：（1）基于奇異攝動(dòng)理論的模型降階與復(fù)合控制首先針對(duì)于柔性關(guān)節(jié)控制問(wèn)題，美國(guó)伊利諾伊大學(xué)香檳分校著名控制論學(xué)者M(jìn)arkW.Spong教授于1987年正式提出和建立柔性關(guān)節(jié)的模型和奇異攝動(dòng)降階方法。對(duì)于柔性關(guān)節(jié)的控制策略絕大多數(shù)都是在Spong模型基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。由于模型的階數(shù)高，無(wú)法直接用于控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，相關(guān)學(xué)者對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行了降階。Spong首先將奇異攝動(dòng)理論引入了柔性關(guān)節(jié)控制，將系統(tǒng)分成了慢速系統(tǒng)和邊界層系統(tǒng)[20]，該方法為后續(xù)的研究奠定了基礎(chǔ)。Wilson等人對(duì)柔性關(guān)節(jié)降階后所得的慢速系統(tǒng)采用了PD控制律，將快速邊界層系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)，對(duì)其阻尼進(jìn)行控制，使其快速穩(wěn)定[21]。針對(duì)慢速系統(tǒng)中的未建模非線性誤差，Amjadi采用模糊控制完成了對(duì)非線性環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)[22]。彭濟(jì)華在對(duì)邊界層系統(tǒng)提供足夠阻尼的同時(shí)，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)引入慢速系統(tǒng)控制，有效的克服了參數(shù)未知和不確定性問(wèn)題。連桿柔性會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程階數(shù)較高，Siciliano和Book將奇異攝動(dòng)方法引入柔性連桿動(dòng)力學(xué)方程的降階，其基本思想與將奇異攝動(dòng)引入柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程一致，都將柔性變形產(chǎn)生的振動(dòng)視為暫態(tài)的快速系統(tǒng)，將名義剛體運(yùn)動(dòng)視為準(zhǔn)靜態(tài)的慢速系統(tǒng)，然后分別對(duì)兩個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)合控制，并應(yīng)用于單柔性連桿的控制中[23]。英國(guó)Sheffield大學(xué)A.S.Morris教授領(lǐng)導(dǎo)的課題組在柔性關(guān)節(jié)奇異攝動(dòng)和復(fù)合控制方面開(kāi)展了持續(xù)的研究。在2002年利用Lagrange方程和假設(shè)模態(tài)以及Spong關(guān)節(jié)模型建立柔性關(guān)節(jié)和柔性連桿的耦合模型，并對(duì)奇異攝動(dòng)理論降階后的慢速和快速子系統(tǒng)分別采用計(jì)算力矩控制和二次型最優(yōu)控制[24]。2003年在解決柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人軌跡跟蹤控制時(shí)，針對(duì)慢速系統(tǒng)參數(shù)不確定問(wèn)題引入RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代替原有的計(jì)算力矩控制[25].隨后2006年在文獻(xiàn)[24]所得算法和子系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，針對(duì)整個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性要求，在邊界層采用Hinf控制，在慢速系統(tǒng)采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，并給出了系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析[26]。隨著相關(guān)研究的開(kāi)展，有些學(xué)者開(kāi)始在奇異攝動(dòng)理論與復(fù)合控制的基礎(chǔ)上作出相應(yīng)改進(jìn)。由于奇異攝動(dòng)的數(shù)學(xué)復(fù)雜性和計(jì)算量問(wèn)題，Spong和Ghorbel提出用積分流形代替奇異攝動(dòng)[27]。針對(duì)奇異攝動(dòng)模型需要關(guān)節(jié)高剛度假設(shè)，在關(guān)節(jié)柔度較大的情況下，劉業(yè)超等人提出一種剛度補(bǔ)償算法，拓展了奇異攝動(dòng)理論的適用范圍[28]。（2）狀態(tài)反饋和自適應(yīng)控制在采用奇異攝動(dòng)理論進(jìn)行分析時(shí)，常常要同時(shí)引入自適應(yīng)控制律來(lái)完成對(duì)未知或不精確參數(shù)的處理，而采用積分流形的方式最大的缺點(diǎn)也在于參數(shù)的不確定性，同樣需要結(jié)合自適應(yīng)控制律[29,30]。因此在考慮柔性環(huán)節(jié)的機(jī)器人高動(dòng)態(tài)性能控制要求下，自適應(yīng)控制律的引入具有一定的必要性。目前對(duì)于柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人自適應(yīng)控制主要思路如下：首先根據(jù)Spong模型，機(jī)器人系統(tǒng)階數(shù)為4，然后通過(guò)相應(yīng)的降階方法獲得一個(gè)二階的剛體模型子系統(tǒng)，而目前的大多數(shù)柔性關(guān)節(jié)自適應(yīng)控制律主要針對(duì)的便是二階的剛體子系統(tǒng)中參數(shù)不確定性。Spong等人提出了將自適應(yīng)控制律引入柔性關(guān)節(jié)控制，其基于柔性關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)奇異攝動(dòng)方程，對(duì)降階剛體模型采用了自適應(yīng)控制律，主要采用的是經(jīng)典的Slotine-Li自適應(yīng)控制律[31]，并通過(guò)與Cambridge大學(xué)Daniel之間互相糾正和修改，確立一套較為完善的基于奇異攝動(dòng)模型的柔性關(guān)節(jié)自適應(yīng)控制方法[32-34]。（3）輸入整形控制輸入整形最原始的思想來(lái)自于利用PosicastControl提出的時(shí)滯濾波器，其基本思想可以概括為在原有控制系統(tǒng)中引入一個(gè)前饋單元,包含一系列不同幅值和時(shí)滯的脈沖序列。將期望的系統(tǒng)輸入和脈沖序列進(jìn)行卷積,產(chǎn)生一個(gè)整形的輸入來(lái)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。最原始的輸入整形方法要求系統(tǒng)是線性的，并且方法魯棒性較差，因此其使用受到限制。直到二十世紀(jì)九十年初由MIT的Signer博士大幅度提高該方法魯棒性，并正式將該方法命名為輸入整形法后[35]，才逐漸為人們重視，并在柔性機(jī)器人和柔性結(jié)構(gòu)控制方面取得了一系列不錯(cuò)的控制效果[36-39]。輸入整形技術(shù)在處理柔性機(jī)器人控制時(shí)，可以統(tǒng)一考慮關(guān)節(jié)柔性和連桿柔性。對(duì)于柔性機(jī)器人的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)控制問(wèn)題，要求快速消除殘余振蕩，使機(jī)器人快速精確定位。

這類問(wèn)題對(duì)于輸入整形控制來(lái)說(shuō)是較容易實(shí)現(xiàn)的，但由于機(jī)器人柔性環(huán)節(jié)較多，呈現(xiàn)出多個(gè)系統(tǒng)模態(tài)，因此必須解決多模態(tài)輸入整形問(wèn)題。相關(guān)學(xué)者對(duì)多模態(tài)系統(tǒng)的輸入整形進(jìn)行了深入研究。多模態(tài)系統(tǒng)的輸入整形設(shè)計(jì)方法一般有:a)級(jí)聯(lián)法：為每個(gè)模態(tài)設(shè)計(jì)相應(yīng)的濾波器，然后將所有模態(tài)的時(shí)滯濾波器進(jìn)行級(jí)聯(lián),組合成一個(gè)完整的濾波器，以抑制所有模態(tài)的振蕩；b)聯(lián)立方程法:直接根據(jù)系統(tǒng)的靈敏度曲線建立一系列的約束方程，通過(guò)求解方程組來(lái)得到濾波器。這兩種方法對(duì)系統(tǒng)的兩種模態(tài)誤差均有很好的魯棒性。級(jí)聯(lián)法設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，且對(duì)高模態(tài)的不敏感性比聯(lián)立方程法要好；聯(lián)立方程法比較直接，濾波器包含的脈沖個(gè)數(shù)少,減少了運(yùn)行時(shí)間。對(duì)于多模態(tài)輸入整形控制Singer博士提出了一種高效的輸入整形方法，其基本思想為：首先在靈敏度曲線上選擇一些滿足殘留振蕩最大幅值的頻段，在這些特定的頻帶中分別選擇一些采樣頻率，計(jì)算其殘留振蕩；然后將各頻率段的殘留振蕩與期望振蕩值的差平方后累加求和，構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)，求取保證目標(biāo)函數(shù)最小的輸入整形序列。將頻率選擇轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問(wèn)題，對(duì)于多模態(tài)系統(tǒng)，則在每個(gè)模態(tài)處分別選擇頻率采樣點(diǎn)和不同的阻尼系數(shù)，再按上述方法求解[40]。SungsooRhim和WayneBook在2004年針對(duì)多模態(tài)振動(dòng)問(wèn)題提出了一種新的時(shí)延整形濾波器，并以控制對(duì)象柔性模態(tài)為變量的函數(shù)形式給出了要消除殘余振動(dòng)所需最基本條件。同時(shí)指出當(dāng)濾波器項(xiàng)數(shù)滿足基本條件時(shí)，濾波器的時(shí)延可以任意設(shè)定，消除任何給定范圍內(nèi)的任意多個(gè)柔性振動(dòng)模態(tài)產(chǎn)生的殘余振動(dòng)，為輸入整形控制器實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)提供了理論基礎(chǔ)[41]，同時(shí)針對(duì)原有輸入整形所通常處理的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)控制問(wèn)題進(jìn)行了有益補(bǔ)充，M.C.Reynolds和P.H.Meckl等人將輸入整形應(yīng)用于關(guān)節(jié)空間的軌跡控制，提出了一種時(shí)間和輸入能量最優(yōu)的軌跡控制方法[42]。（4）不基于模型的軟計(jì)算智能控制針對(duì)含有柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的復(fù)雜性和無(wú)法精確建模，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能計(jì)算方法更多地被引入用于對(duì)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行近似。Ge等人利用高斯徑向函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)完成柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人系統(tǒng)的反饋線性化，仿真結(jié)果表明相比于傳統(tǒng)的基于模型的反饋線性化控制，采用該方法系統(tǒng)動(dòng)態(tài)跟蹤性能較好，對(duì)于參數(shù)不確定性和動(dòng)力學(xué)模型的變化魯棒性較強(qiáng)，但是整個(gè)算法所用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由于所需節(jié)點(diǎn)較多，計(jì)算量較大，并且需要全狀態(tài)反饋，狀態(tài)反饋量獲取存在一定困難[43]。孫富春等人對(duì)于只具有關(guān)節(jié)傳感器的機(jī)器人系統(tǒng)在輸出反饋控制的基礎(chǔ)上引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，用于逼近機(jī)器人模型，克服無(wú)法精確建模的非線性環(huán)節(jié)帶來(lái)的影響，從而提高機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)跟蹤性能[44]。A.S.Morris針對(duì)整個(gè)柔性機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型提出了相應(yīng)的模糊控制器，并用GA算法對(duì)控制器參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，之后在模糊控制器的基礎(chǔ)上，綜合了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近功能對(duì)剛?cè)狁詈线\(yùn)動(dòng)進(jìn)行了補(bǔ)償[45]。除采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)外，模糊控制也在柔性機(jī)器人控制中得以應(yīng)用。具有代表性的研究成果有V.G.Moudgal設(shè)計(jì)了一種具有參數(shù)自學(xué)習(xí)能力的柔性連桿模糊控制器，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析，并與常規(guī)的模糊控制策略進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)比較[46]。Lin和F.L.Lewis等人在利用奇異攝動(dòng)方法基礎(chǔ)上引入模糊控制器，對(duì)所得的快速子系統(tǒng)和慢速子系統(tǒng)分別進(jìn)行模糊控制[4748]?？焖僮酉到y(tǒng)的模糊控制器采用最優(yōu)控制方法使柔性系統(tǒng)的振動(dòng)快速消退，慢速子系統(tǒng)的模糊控制器完成名義軌跡的追蹤，并對(duì)單柔性梁進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。Trabia和Shi提出將關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角和末端振動(dòng)變形分別設(shè)計(jì)模糊控制器進(jìn)行控制，由于對(duì)每個(gè)子系統(tǒng)只有一個(gè)控制目標(biāo)，所以模糊規(guī)則相對(duì)簡(jiǎn)單，最后將兩個(gè)控制器的輸出進(jìn)行合成，完成復(fù)合控制，其思想與奇異攝動(dòng)方法下進(jìn)行復(fù)合控制類似[49]。隨后又對(duì)該算法進(jìn)行改進(jìn)，同樣采用分布式結(jié)構(gòu)，通過(guò)對(duì)輸出變量重要性進(jìn)行評(píng)估，得出關(guān)節(jié)和末端點(diǎn)的速度量要比位置量更為重要，因此將模糊控制器分成兩部分，分別對(duì)速度和位置進(jìn)行控制，并利用NelderandMeadSimplex搜索方法對(duì)隸屬度函數(shù)進(jìn)行更新[50]。采用基于軟計(jì)算的智能控制方法相對(duì)于基于模型的控制方法具有很多優(yōu)勢(shì)，特別是可以與傳統(tǒng)控制方法相結(jié)合，完成對(duì)傳統(tǒng)方法無(wú)法精確建模的非線性環(huán)節(jié)進(jìn)行逼近，但是目前這些方法的研究絕大部分還處于仿真階段，或在較簡(jiǎn)單的機(jī)器人（如單自由度或兩自由度機(jī)器人）進(jìn)行相關(guān)實(shí)驗(yàn)研究。其應(yīng)用和工程實(shí)現(xiàn)受限的主要原因在于計(jì)算量大，但隨著處理器計(jì)算能力的提高，這些方法還有廣泛的應(yīng)用前景。

第4篇：數(shù)學(xué)建模魯棒性分析范文

關(guān)鍵詞:三維人臉建模;人臉檢測(cè);特征提取

中圖分類號(hào):TP18 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1009-3044(2010)17-4755-02

Research on the Thoughts of Design of 3D Face Detection Based on Image

ZHU Jun-jun, CHENG Tao

(College of Computer Science, Sichuan normal University, Chengdu 610101, China)

Abstract: Automatic face detection has long been an active research area because of it's potential for applications such as law enforcement, security access, and man-machine interaction. Most of the extensive recognition methods are based on 2D methods. So, it is not the real 3D methods. This paper focused on the research of the technique of 3D face diction based on image. It means, detect 3D face with two original photos of human's head and other faces. In this paper, I find a method witch is the real 3D method. It is based on the image itself. What we need to do is about three steps to obtain the detection. Three steps: processing, modeling, detecting.

Key words: 3D face modeling; face detection; feature extraction

廣義的人臉識(shí)別實(shí)際包括構(gòu)建人臉識(shí)別系統(tǒng)的一系列相關(guān)技術(shù),包括人臉圖像采集、人臉定位、人臉識(shí)別預(yù)處理、身份確認(rèn)以及身份查找等;而狹義的人臉識(shí)別特指通過(guò)人臉進(jìn)行身份確認(rèn)或者身份查找的技術(shù)或系統(tǒng)。基于人臉特征進(jìn)行身份驗(yàn)證是目前比較流行的身份驗(yàn)證技術(shù),它具有、友好、 直接等優(yōu)秀的特點(diǎn),能夠被廣大用戶所接受。因此計(jì)算機(jī)人臉識(shí)別技術(shù)是生物特征最為活躍最有挑戰(zhàn)性的領(lǐng)域之一。它結(jié)合了認(rèn)知科學(xué)、圖象處理、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、機(jī)器視覺(jué)和模式識(shí)別等多個(gè)研究領(lǐng)域,研究的成果有著廣闊的應(yīng)用前景。

1 目前人臉識(shí)別中存在的問(wèn)題

到目前為止,人臉識(shí)別研究雖然取得很大進(jìn)步,形成了各種方法理論,但仍然存在著各種各校的局限,比如識(shí)別的結(jié)果容易受到面部表情、人物姿勢(shì)、自然光照、天氣狀況、人物生理特征變化等各方面綜合因素的影響。

主要體現(xiàn)在:1) 人臉人為變形(如表情等)的不確定性;2) 人臉外觀的復(fù)雜性(如發(fā)型、斑點(diǎn)、膚色等);3) 圖像生成結(jié)果過(guò)程中的不確定性(如太陽(yáng)光照的強(qiáng)度、光照來(lái)源方向等);4) 人臉的膚色生理復(fù)雜性(如婦女生了小孩后臉型發(fā)胖、長(zhǎng)斑等)。

2 三維人臉識(shí)別國(guó)內(nèi)外研究狀況

三維人臉識(shí)別一起以來(lái)有著突飛猛進(jìn)的發(fā)展,自從上個(gè)世紀(jì)以來(lái),真正標(biāo)志著三維人臉的識(shí)別是1980年開(kāi)始,國(guó)內(nèi)的三維人臉識(shí)別的展開(kāi)要稍微慢一些,還處于剛起步的狀態(tài)。在國(guó)內(nèi)要實(shí)現(xiàn)三維人臉識(shí)別,首先要對(duì)三維數(shù)據(jù)信息的獲得,然后已經(jīng)成功地運(yùn)用在目前的生產(chǎn)實(shí)際應(yīng)用之中,例如我們國(guó)內(nèi)的大型醫(yī)院里面用到的采用PHILIPS公司的儀器的CT醫(yī)學(xué)成像,三維激光切割技術(shù),結(jié)構(gòu)光學(xué)方法,但是應(yīng)用不是不夠成熟,技術(shù)依賴太強(qiáng)。而在國(guó)外,三維人臉識(shí)別技術(shù)已經(jīng)有了大的進(jìn)展,特別是在三維數(shù)據(jù)提取過(guò)程中有著非常大的發(fā)展,比如在對(duì)外界光照情況下如何克服不同光源影響,Pentland等提出采用多視角圖像解決姿態(tài)變化的人臉識(shí)別問(wèn)題,Georghiade等提出亮度錐方法處理姿態(tài)光照變化問(wèn)題,Blanz等提出3D形變模型方法。國(guó)外對(duì)于處理三維人臉識(shí)別的基本方法是采取數(shù)學(xué)方面的幾何特征對(duì)圖像自身進(jìn)取處理,利用深度圖象處理技術(shù),分析面貌曲面的曲率等幾何特征,對(duì)面貌曲面進(jìn)行凹凸區(qū)域的分割、正側(cè)面輪廓邊緣的提取。

3 三維人臉建模與識(shí)別介紹

三維人臉建模作為計(jì)算機(jī)視覺(jué)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)主要基礎(chǔ),它是達(dá)到識(shí)別的先決條件,而人臉憑借其特有的普遍性和易用性成為眾多專家學(xué)者進(jìn)行三維建模的研究對(duì)象。從20世紀(jì)70年代Parke建立第一個(gè)臉部模型開(kāi)始,許多研究人員致力于三維人臉建模的研究。特別是20世紀(jì)90年代以來(lái),計(jì)算機(jī)視覺(jué)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展為三維人臉建模提供了技術(shù)支持,學(xué)多學(xué)者開(kāi)始嘗試建立逼真的三維人臉模型,并取得了顯著的成績(jī)。

近年來(lái),隨著三維感知技術(shù)和三維幾何學(xué)學(xué)科了解的逐步深入,人們進(jìn)行人臉識(shí)別也開(kāi)始受三維人臉建模技術(shù)的影響而將眼光轉(zhuǎn)移到關(guān)注三維以及二維和三維混合領(lǐng)域上。使用三維人臉模型進(jìn)行人臉識(shí)別研究具有很多優(yōu)勢(shì),首先,基于3D模型的人臉識(shí)別將對(duì)姿態(tài)和光照變化具有更強(qiáng)的魯棒性。其次,引入3D模型,識(shí)別工作就可以在2.5D或者2D深度圖像和3D人臉模型之間展開(kāi),從而一定程度上提高識(shí)別效率和精確度。雖然事實(shí)證明3D感知設(shè)備如3D深度掃描儀輔助的3D人臉建模方法在3D人臉識(shí)別方面具有非常優(yōu)秀的效果,但其受可用性和感知設(shè)備的高昂費(fèi)用所限,目前單純利用3D感知設(shè)置進(jìn)行人臉識(shí)別的商業(yè)應(yīng)用仍然很少。

4 三維人臉識(shí)別過(guò)程所需要的基本步驟

綜上所述,為了達(dá)到一個(gè)自動(dòng)的人臉識(shí)別的過(guò)程,如圖1所示,需要的步驟有:

1) 人臉檢測(cè)與人臉?lè)指睢淖匀唤缃o定的場(chǎng)景里面檢測(cè)出人臉,然后進(jìn)行定位,最后提取。

2) 人臉的規(guī)范化。首先要校正人臉在位置、光照和角度等外界環(huán)境因素影響下的變化。

3) 人臉表征。采用某種方法表示出數(shù)據(jù)庫(kù)中的已知人臉和檢測(cè)出的人臉,通常的方法有幾何特征、代數(shù)特征、特征臉、固定特征模板等。

4) 人臉識(shí)別。根據(jù)人臉的表征方法,選擇適當(dāng)?shù)钠ヅ洳呗詫⒌玫降娜四樑c數(shù)據(jù)庫(kù)中的已知人臉相比較。

5 三維人臉識(shí)別系統(tǒng)的構(gòu)成

5.1 三維人臉的定位系統(tǒng)構(gòu)成

人臉定位方法基本上可以分成兩類,分別是對(duì)于彩色圖像的和基于灰度圖像的,基于彩色圖像的定位方法有:例如基于膚色的定位方法,該方法利用膚色與背景色彩的區(qū)別從人臉圖像中定位出人臉的大致位置,利用模板匹配從候選區(qū)域中檢測(cè)并提取出人臉;基于灰度圖像的方法:基于人臉輪廓的人臉定位方法,該方法利用對(duì)人臉的先驗(yàn)知識(shí),在snake曲線提取邊緣的算法的基礎(chǔ)上,研究了ASM算法,這種算法先對(duì)人臉樣本進(jìn)行訓(xùn)練,然后進(jìn)行曲線檢測(cè),對(duì)人臉檢測(cè)定位更具通用性。

5.2 三維人臉的重建的方法介紹

三維重構(gòu)人臉的方法有基于三維結(jié)構(gòu)光,基于3D形變模型和基于通用模型等3D形變模型是一種參數(shù)化的通用模型,本文就是在3D形變模型標(biāo)準(zhǔn)模型的基礎(chǔ)上重構(gòu)特定人臉3D形狀。在通用模型上重建出特定的人臉的過(guò)程就是參數(shù)調(diào)整的過(guò)程。把表述人臉的特征點(diǎn)分成不同的優(yōu)先級(jí),利用ASM算法思想,完成人臉中不同優(yōu)先級(jí)的特征點(diǎn)的調(diào)整,從而在3D形模型的基礎(chǔ)上重構(gòu)出特定的人臉。

5.3 三維人臉識(shí)別系統(tǒng)的方法介紹

1) 主成份分析方法(Principal Component Analysis,PCA):通過(guò)正交變換得到從高維降維到低維子空間的變換矩陣,這些正交矩陣基又被稱作“特征臉”。該方法是一種簡(jiǎn)單實(shí)用的基于代數(shù)特征的人臉識(shí)別方法,保留了人臉面部器官之間的拓?fù)潢P(guān)系,也保留了各器官部件的信息,得到廣泛的應(yīng)用。但它對(duì)光照、視角的變化影響比較大,因此對(duì)預(yù)處理的要求比較高。

2) 線性判別分析方法(Linear Discriminant Analysis, LDA):該方法是模式識(shí)別領(lǐng)域里非常有效的降維手段,它利用訓(xùn)練樣本集的類別信息,定義了類內(nèi)擴(kuò)散矩陣和類間擴(kuò)散矩陣,策略就是使類內(nèi)擴(kuò)散矩陣盡量小,類間擴(kuò)散矩陣盡量大,以此達(dá)到降維、分類的目的。近年來(lái),衍生出許多改進(jìn)的或擴(kuò)展的LDA算法,如多類問(wèn)題LDA方法、Foley-Sammon最佳鑒別矢量集以及UODV算法等。

3) Gabo小波提取特征法:該方法是模式識(shí)別領(lǐng)域里應(yīng)用較為廣泛的特征提取方法之一,它充分利用圖像中的不同方向和頻率上的特征信息,有效提取能夠表述圖像的細(xì)節(jié)信息,以此來(lái)表征圖像,達(dá)到分類的目的。線性分析方法在將高維矢量映射為低維矢量時(shí),其變換矩陣是線性的。然而,人臉圖像實(shí)際上非常復(fù)雜,很難用線性模型對(duì)其進(jìn)行完全的刻畫(huà)和表示,因此,相應(yīng)的非線性方法得到了很好的研究。常見(jiàn)的非線性方法有:基于核的主成份分析方法(KPCA-Kernel PCA),其主要思想是基于某選定的核函數(shù),構(gòu)造從輸人空間到特征空間的一個(gè)非線性映射。

具體的流程圖如圖2所示。

6 三維人臉檢測(cè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的難點(diǎn)與總結(jié)

三維人臉識(shí)別中面部的關(guān)鍵特征點(diǎn)定位是一個(gè)具有相當(dāng)挑戰(zhàn)性并且很復(fù)雜的問(wèn)題,也是計(jì)算機(jī)視覺(jué)和圖形學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)最基本問(wèn)題。目前,自動(dòng)三維人臉識(shí)別系統(tǒng)仍然存在著很多的局限和不足。主要存在的問(wèn)題有:人臉多種姿態(tài)、人臉表情異同、環(huán)境光照強(qiáng)弱等。因此特征點(diǎn)的精確定位是解決這些問(wèn)題的基礎(chǔ)。本文知識(shí)對(duì)人臉特征點(diǎn)定位進(jìn)行了一些嘗試性的研究,但是還是有很多要待下一步的研究。人臉圖像上的關(guān)鍵特征點(diǎn)是臉部主要器官輪廓上的點(diǎn),這些器官輪廓在人臉部區(qū)域具有明顯的邊緣特征。因此,在目標(biāo)的搜索過(guò)程中加入了邊緣約束局部灰度模型,使人臉特征點(diǎn)收斂到邊緣性強(qiáng)的人臉輪廓上,并且在搜索的過(guò)程中引入了多分辨率的搜索策略,提高了人臉特征點(diǎn)定位速度和精度。在本文中,由于使用的IMM標(biāo)準(zhǔn)人臉庫(kù),光照比較均勻且?guī)熘械娜四槇D像大多是正面人臉圖像,因此目前的算法對(duì)光照和人臉的姿態(tài)適應(yīng)能力較弱為了解決光照對(duì)算法的影響。在下一步的工作中,首先人臉圖像的光照強(qiáng)度進(jìn)行校正,將其校正到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的光照條件下,其次要建立多姿態(tài)人臉的統(tǒng)計(jì)模型。在進(jìn)行人臉特征點(diǎn)定位之前,先對(duì)人臉圖像的姿態(tài)進(jìn)行判定,然后選用不同的統(tǒng)計(jì)模型對(duì)人臉圖像進(jìn)行特征點(diǎn)的定位;但是光照的校正和人臉姿態(tài)的判定是比較復(fù)雜的問(wèn)題,因此將算法擴(kuò)展到多姿態(tài)的人臉面部的關(guān)鍵特征點(diǎn)的自動(dòng)定位上,并使之具備良好的光照適應(yīng)能力將是下一步研究的重點(diǎn)。IMM人臉庫(kù)中的人臉圖像都是無(wú)遮擋的,因此在后續(xù)的工作中要對(duì)部分遮擋人臉進(jìn)行特征點(diǎn)的定位。本文中的人臉定位點(diǎn)方法在人臉的表情夸張的情況下的定位不是很正確,一方面因?yàn)槟壳八玫娜四樣?xùn)練樣本圖像不夠豐富,另一方面是因?yàn)樘卣鼽c(diǎn)處的局部紋理特征模型不夠精細(xì)。因此,后續(xù)工作主要是豐富人臉訓(xùn)練樣本集,使訓(xùn)練所得模型更加具有普遍性。另一方面嘗試對(duì)人臉關(guān)鍵特征點(diǎn)用較復(fù)雜的局部模型進(jìn)行建模,以便能夠得到更精確的關(guān)鍵特征點(diǎn)定位結(jié)果。在基于人臉特征點(diǎn)定位的人臉三維重建過(guò)程中,為了減少運(yùn)算量,我們使用的是比較簡(jiǎn)單的Candide_3模型,且沒(méi)有進(jìn)行紋理的映射,在后續(xù)的工作中,將采用更加復(fù)雜的通用三維模型,從而重構(gòu)處真實(shí)感人臉。在人臉識(shí)別中,僅僅使用了特征點(diǎn)集之間的線段Hausdorff進(jìn)行人臉的識(shí)別,在后續(xù)的工作中可以加入特征點(diǎn)處的局部Gabon特征來(lái)進(jìn)行人臉的識(shí)別。

參考文獻(xiàn):

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第5篇：數(shù)學(xué)建模魯棒性分析范文

關(guān)鍵詞：穩(wěn)健性設(shè)計(jì)；質(zhì)量控制；田口質(zhì)量

中圖分類號(hào)：TH122 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-2374（2013）07-

產(chǎn)品設(shè)計(jì)是決定產(chǎn)品的第一也是最重要的環(huán)節(jié)。產(chǎn)品設(shè)計(jì)帶來(lái)的質(zhì)量問(wèn)題如果不及時(shí)處理，會(huì)引起連鎖反應(yīng)，其解決需要的時(shí)間和費(fèi)用很高。在設(shè)計(jì)過(guò)程中考慮得全面、合理、仔細(xì)能夠有效地降低成本，減少質(zhì)量問(wèn)題發(fā)生。通過(guò)穩(wěn)健性設(shè)計(jì)不僅能夠提高質(zhì)量，還能使產(chǎn)品特性對(duì)不可控因素的敏感性降低。

1 穩(wěn)健性產(chǎn)品設(shè)計(jì)技術(shù)

1.1 穩(wěn)健性設(shè)計(jì)的基本原理

產(chǎn)品的質(zhì)量在其生命周期內(nèi)會(huì)被各種因素影響，這些影響具有不確定性，會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)品的質(zhì)量特性波動(dòng)。直接消除干擾因素，雖然可以解決問(wèn)題但是實(shí)現(xiàn)難度過(guò)大、成本過(guò)高。可以盡量降低干擾因素，使質(zhì)量與因素之間關(guān)聯(lián)變?nèi)?，?duì)干擾變得不敏感，這就是穩(wěn)健性設(shè)計(jì)的原理。

1.2 穩(wěn)健性設(shè)計(jì)典型方法

穩(wěn)健性來(lái)源于控制理論中的魯棒性，是指變量對(duì)因素發(fā)生微小差變的不敏感性。如何定量地度量設(shè)計(jì)的穩(wěn)健性是穩(wěn)健性設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。可行穩(wěn)健性是指產(chǎn)品性能質(zhì)量在印象因素作用下穩(wěn)定在所允許的范圍內(nèi)的能力；敏感穩(wěn)健性是指產(chǎn)品性能質(zhì)量在噪聲因素作用下保持穩(wěn)定的能力。穩(wěn)健性的指標(biāo)有質(zhì)量損失函數(shù)、信噪比、質(zhì)量信息熵等。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期研究和應(yīng)用，穩(wěn)健性設(shè)計(jì)的技術(shù)取得了很大的進(jìn)展，出現(xiàn)了多種穩(wěn)健性設(shè)計(jì)方法。馬義中通過(guò)熵和協(xié)方差矩陣的關(guān)系，建立多元質(zhì)量特性的信噪比計(jì)算公式來(lái)度量產(chǎn)品質(zhì)量特性的整體波動(dòng)，為了克服質(zhì)量特性協(xié)方差不能直接反映質(zhì)量特性的波動(dòng)關(guān)系，利用信息熵概念度量穩(wěn)健設(shè)計(jì)中多元質(zhì)量特性的整體波動(dòng)。比較常用的如下：

1.2.1 田口方法。田口方法以正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)，將產(chǎn)品的設(shè)計(jì)分為系統(tǒng)設(shè)計(jì)、參數(shù)設(shè)計(jì)和容差設(shè)計(jì)三個(gè)階段，最后通過(guò)正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)確定參數(shù)值可以到達(dá)的最佳水平組合。該方法為穩(wěn)健性設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)，但是必須事先確定方案的大致范圍，局限性強(qiáng)，需要進(jìn)一步研究。

1.2.2 雙響應(yīng)面法。雙響應(yīng)面法可以將噪聲因素和設(shè)計(jì)變量結(jié)合，綜合考慮其對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量的影響。適用于噪聲因素非正太分布，求解誤差小，但是對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)敏感，模型擬合較為困難。

1.2.3 隨機(jī)模型法。隨機(jī)模型將設(shè)計(jì)變量和噪聲的隨機(jī)性作為重點(diǎn)考慮對(duì)象，將穩(wěn)健設(shè)計(jì)引入到有隨機(jī)因素的工程中。該方法不要求變量為正太分布，實(shí)用價(jià)值很高，但是建模和計(jì)算較為困難。

1.2.4 靈敏度法。為了保證產(chǎn)品對(duì)設(shè)計(jì)變量和噪聲因素的影響達(dá)到最小，將設(shè)計(jì)函數(shù)、設(shè)計(jì)變量和噪聲因素的非線性效應(yīng)作為主要研究對(duì)象。該方法可以快速確定需要調(diào)節(jié)的范圍，可以結(jié)合其他穩(wěn)健性設(shè)計(jì)方法，但是主要應(yīng)用于質(zhì)量指標(biāo)問(wèn)題。

1.3 穩(wěn)健性設(shè)計(jì)特點(diǎn)

1.3.1 穩(wěn)健性設(shè)計(jì)可以將噪聲因素分為可控與不可控因素，利用模型盡可能地消除干擾因素，提高質(zhì)量。

1.3.2 產(chǎn)品的平均特性可以由內(nèi)表可查，穩(wěn)健性由外表考察，采用先進(jìn)的方法可以在盡可能少的試驗(yàn)中獲取大量信息。

1.3.3 穩(wěn)健性產(chǎn)品設(shè)計(jì)與工業(yè)各個(gè)環(huán)節(jié)一起考慮，將其中的干擾都計(jì)算到數(shù)學(xué)模型中，所以其抗干擾的能力很強(qiáng)。

1.3.4 穩(wěn)健性產(chǎn)品設(shè)計(jì)考慮到系統(tǒng)的非線性特性，可以在有效控制成本的前提下，生產(chǎn)出較高質(zhì)量的產(chǎn)品。

1.3.5 該技術(shù)需要對(duì)技術(shù)人員進(jìn)行專業(yè)的培訓(xùn)，才能迅速轉(zhuǎn)化為成果。

1.3.6 已經(jīng)研發(fā)出響應(yīng)的平臺(tái)及軟件，在計(jì)算時(shí)輔助下大大提升了工作效率。

1.3.7 適用性強(qiáng)，可以應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域中，不斷地提高產(chǎn)品質(zhì)量。

2 基于田口質(zhì)量的產(chǎn)品穩(wěn)健性設(shè)計(jì)分析

對(duì)于定制生成方式，需要將客戶的定制轉(zhuǎn)化各種模塊化的配合，然后通過(guò)選擇模塊來(lái)實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品的選擇。將田口質(zhì)量法與模塊化結(jié)合，可以減少產(chǎn)品由于質(zhì)量波動(dòng)造成的損失。

2.1 定制產(chǎn)品的多元損失函數(shù)

假設(shè)產(chǎn)品的質(zhì)量特性為y，目標(biāo)值為，合理偏差為。質(zhì)量特性的類型可以分為望目、望大、望小三種。望目特性：希望特性值存在一個(gè)目標(biāo)值，并希望實(shí)際的特性值圍繞目標(biāo)波動(dòng)，且波動(dòng)越小越好。望小特性：希望特性和波動(dòng)越小越好，如零件磨損等。望大特性：希望特性和波動(dòng)越大越好，如機(jī)器效率、零件壽命等。產(chǎn)品質(zhì)量損失函數(shù)為：

（1）

式中：反映了質(zhì)量波動(dòng)程度，k為比例常數(shù)，k的值與望目、望大、望小三種特性相關(guān)。該公式說(shuō)明當(dāng)質(zhì)量特性在合理的偏差范圍中波動(dòng)時(shí)，雖然產(chǎn)品合格但是仍然會(huì)給用戶產(chǎn)生一定程度的損失。

2.2 定制產(chǎn)品的穩(wěn)健性表達(dá)

因?yàn)樵肼暤挠绊?，產(chǎn)品的質(zhì)量具有一定的隨機(jī)性，因此穩(wěn)健性必須考慮。這里根據(jù)產(chǎn)品的質(zhì)量特性引入了信噪比的概念，通過(guò)信噪比來(lái)度量產(chǎn)品質(zhì)量特性的穩(wěn)健性。

其中作為產(chǎn)品穩(wěn)健性的度量指標(biāo)，其值越大，產(chǎn)品越趨于穩(wěn)健，損失就越小。因此根據(jù)不同的質(zhì)量特性可以對(duì)賦予不同權(quán)重。

2.3 定制產(chǎn)品的穩(wěn)健選配模型

根據(jù)數(shù)學(xué)模型，模塊實(shí)例選配的步驟如下：

2.3.1 分析產(chǎn)品質(zhì)量特點(diǎn)，判斷其類型。

2.3.2 根據(jù)模塊實(shí)例的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，計(jì)算各種質(zhì)量特性的信噪比。

2.3.3 計(jì)算質(zhì)量特性權(quán)重。

2.3.4 確定各質(zhì)量特性類型，并計(jì)算產(chǎn)品質(zhì)量特性。

2.3.5 分析產(chǎn)品封閉環(huán)，計(jì)算配合偏差。

2.3.6 最優(yōu)化求解，選擇最佳方案。

3 實(shí)際應(yīng)用

對(duì)于出頭彈簧參數(shù)設(shè)置，可以采用穩(wěn)健性設(shè)計(jì)原理。已知數(shù)據(jù)：F=4N，力臂L=24mm，則力矩M=4×24=96N·mm。滿足力矩的參數(shù)不是唯一的，不同的彈簧鋼絲直徑、中徑、圈數(shù)都會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生不同的作用。這里要選擇最佳信噪比、靈敏度的方案，通過(guò)分析找出穩(wěn)定和調(diào)整因素。彈簧設(shè)計(jì)時(shí)質(zhì)量特性的數(shù)學(xué)模型：Φ，其中d為直徑，D為中徑，n為有效圈數(shù)，Φ為旋轉(zhuǎn)角度，如表1

所示：

所以可以確定最佳參數(shù)為：d=1.2mm、D=7.2mm、n=2.9圈、Φ=34°。

田口方法是質(zhì)量高、可靠性高、效率高的設(shè)計(jì)方法，隨著廣泛的應(yīng)用，效果會(huì)越來(lái)越好。實(shí)踐表明穩(wěn)健性是產(chǎn)品設(shè)計(jì)和選擇的第一準(zhǔn)則，田口方法可以很好地實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品的穩(wěn)健性。

4 結(jié)語(yǔ)

穩(wěn)健性產(chǎn)品設(shè)計(jì)可以提高產(chǎn)品的設(shè)計(jì)質(zhì)量，是一種快速、經(jīng)濟(jì)的獲取提高產(chǎn)品質(zhì)量的可行性解決方案。因此研究穩(wěn)健性產(chǎn)品設(shè)計(jì)，并將其各個(gè)領(lǐng)域全面推廣是非常必要的。

參考文獻(xiàn)

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第6篇：數(shù)學(xué)建模魯棒性分析范文

關(guān)鍵詞:國(guó)際貿(mào)易;非線性經(jīng)濟(jì)學(xué);經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè);數(shù)據(jù)分析;評(píng)述

國(guó)際貿(mào)易是世界各國(guó)經(jīng)濟(jì)、政治、文化交流的重要紐帶，通過(guò)它可以擴(kuò)大相互作用，促進(jìn)相互的經(jīng)濟(jì)合作，改善國(guó)際環(huán)境，為本國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展創(chuàng)造良好的外部條件。

國(guó)際貿(mào)易是一個(gè)復(fù)雜時(shí)變非線性系統(tǒng)。對(duì)國(guó)際貿(mào)易問(wèn)題的分析與預(yù)測(cè)是建立良性經(jīng)貿(mào)環(huán)境的前提。國(guó)際貿(mào)易不僅受到一國(guó)(或地區(qū))的經(jīng)濟(jì)條件、自然條件、貿(mào)易政策等國(guó)內(nèi)因素影響，還受到國(guó)際市場(chǎng)需求、全球經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)等國(guó)際因素影響，且各影響因素相互之間存在非線性關(guān)系。對(duì)進(jìn)出口貿(mào)易數(shù)據(jù)分析與預(yù)測(cè)，其實(shí)質(zhì)就是建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型并進(jìn)行應(yīng)用。研究表明，各個(gè)國(guó)家的外貿(mào)環(huán)境復(fù)雜多變，導(dǎo)致在原來(lái)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之上建立的簡(jiǎn)單線性模型失真，這給進(jìn)出口貿(mào)易的分析與預(yù)測(cè)帶來(lái)了很多困難。如何建立能很好擬合該數(shù)據(jù)特征的非線性模型，是一種積極的探討，近年來(lái)日益受到國(guó)際貿(mào)易領(lǐng)域研究與應(yīng)用者的重視。改革開(kāi)放20多年來(lái)，我國(guó)外經(jīng)貿(mào)事業(yè)發(fā)生了巨大變化。特別是加入世界貿(mào)易組織后，我國(guó)對(duì)外開(kāi)放進(jìn)入了新的階段，我國(guó)已經(jīng)成為世界第三大貿(mào)易國(guó)。關(guān)于我國(guó)外貿(mào)的準(zhǔn)確分析與預(yù)測(cè)對(duì)于促進(jìn)經(jīng)濟(jì)的平穩(wěn)、持續(xù)增長(zhǎng)，制定有效的外貿(mào)政策具有重要意義。本文介紹了目前用于國(guó)際貿(mào)易分析與預(yù)測(cè)的一些方法，以期供相關(guān)學(xué)者與實(shí)際工作者借鑒。

一、國(guó)際貿(mào)易的非線性特性分析

奴隸社會(huì)國(guó)際貿(mào)易的發(fā)展是與暴力掠奪、海上搶劫、販賣(mài)奴隸密切聯(lián)系在一起的。受自然經(jīng)濟(jì)的制約，國(guó)際貿(mào)易在奴隸社會(huì)經(jīng)濟(jì)中的地位并不重要。封建社會(huì)的國(guó)際貿(mào)易雖然較奴隸社會(huì)有了進(jìn)一步發(fā)展，但由于占主導(dǎo)地位的仍然是自給自足的自然經(jīng)濟(jì)，因而貿(mào)易的規(guī)模和范圍還是很有限的。國(guó)際貿(mào)易真正獲得巨大的發(fā)展，出現(xiàn)在資本主義生產(chǎn)形成和發(fā)展時(shí)期。從16世紀(jì)至第一次世界大戰(zhàn)，國(guó)際貿(mào)易發(fā)展迅速。全世界經(jīng)歷過(guò)一次由國(guó)際貿(mào)易帶動(dòng)的全球化浪潮，各國(guó)之間的經(jīng)濟(jì)聯(lián)系因國(guó)際貿(mào)易的快速增加而大大加強(qiáng)[1]。許多國(guó)家對(duì)外交往范圍之廣、程度之深，如果以出口占GDP的比重來(lái)衡量的話，現(xiàn)在仍有一些國(guó)家(如日本等國(guó))的國(guó)際化程度不能達(dá)到當(dāng)時(shí)的水平。第二次世界大戰(zhàn)后結(jié)束初期到1973年，是國(guó)際貿(mào)易迅速發(fā)展階段。這一階段國(guó)際貿(mào)易增長(zhǎng)速度之快在歷史上是空前的。這主要是因?yàn)?(1)戰(zhàn)后發(fā)達(dá)資本主義國(guó)家經(jīng)濟(jì)的迅速恢復(fù)和發(fā)展;(2)國(guó)際分工和生產(chǎn)國(guó)際化的深入和擴(kuò)大;(3)跨國(guó)公司的發(fā)展;(4)國(guó)際金融貿(mào)易組織的建立和經(jīng)濟(jì)一體化;(5)關(guān)稅與貿(mào)易總協(xié)定的作用。從1973年到1985年，由于經(jīng)濟(jì)危機(jī)、能源危機(jī)、貨幣制度危機(jī)、農(nóng)業(yè)危機(jī)的爆發(fā)，導(dǎo)致國(guó)際貿(mào)易由迅速發(fā)展轉(zhuǎn)向緩慢發(fā)展，甚至停滯的階段。20世紀(jì)80年代后半期至今，是國(guó)際貿(mào)易發(fā)展速度總體回升的階段。近幾十年涌動(dòng)著又一波全球化浪潮，呈現(xiàn)出兩個(gè)新的特征:中間產(chǎn)品貿(mào)易的大幅度增長(zhǎng)(當(dāng)然也是國(guó)際貿(mào)易的大幅度增長(zhǎng))和FDI流動(dòng)的快速增加。以發(fā)達(dá)國(guó)家為例，過(guò)去20年，美國(guó)出口占GDP的比重大約翻了一番;OECD國(guó)家，即使略去集團(tuán)內(nèi)貿(mào)易不計(jì)，出口占GDP的比重也大致增長(zhǎng)了一倍。與GDP相比，國(guó)際貿(mào)易出現(xiàn)了更快速度的非線性式增長(zhǎng)。不管是從國(guó)際貿(mào)易的發(fā)展史，還是從各個(gè)國(guó)家的發(fā)展情況來(lái)看，國(guó)際貿(mào)易從宏觀上看，均呈非線性發(fā)展的顯著特點(diǎn)。

此處著重評(píng)述一下在微觀上我國(guó)學(xué)者對(duì)非線性特征的認(rèn)知與分析所做的研究與探討工作。

黃夢(mèng)橋和王濤生(2005)[2]結(jié)合使用相關(guān)維數(shù)和最大Lyapunov指數(shù)方法，采用我國(guó)進(jìn)出口貿(mào)易的月度數(shù)據(jù)序列作為樣本，說(shuō)明了國(guó)際貿(mào)易市場(chǎng)具有非線性和低維混沌特征。

湛墾華、張永安和馮宗憲(1997)[3]應(yīng)用自組織理論與方法，對(duì)國(guó)際市場(chǎng)演變的非線性機(jī)制作了較系統(tǒng)的分析，從新的視角闡述了國(guó)際市場(chǎng)演變的一般規(guī)律及特點(diǎn)。他們認(rèn)為從自組織理論看，國(guó)際市場(chǎng)作為一個(gè)遠(yuǎn)離平衡的、開(kāi)放的非線性系統(tǒng)，在國(guó)際政治、地緣關(guān)系、自然資源、人口分布等構(gòu)成的國(guó)際經(jīng)貿(mào)市場(chǎng)的勢(shì)場(chǎng)背景下，是以一定的基核為始點(diǎn)，在不斷漲落的外界環(huán)境影響下，以不同的演化方式，組成有特定功能的系統(tǒng)。

祝寶江(2006)[4]把國(guó)際貿(mào)易信用系統(tǒng)置于耗散結(jié)構(gòu)狀態(tài)下進(jìn)行了研究。說(shuō)明在耗散結(jié)構(gòu)狀態(tài)下的國(guó)際貿(mào)易信用系統(tǒng)不停地與經(jīng)濟(jì)社會(huì)系統(tǒng)通過(guò)實(shí)物信用和貨幣信用在內(nèi)外環(huán)境之間進(jìn)行著物質(zhì)、能量、信息的交換與流通。系統(tǒng)耗掉了一定的能量，具有微小漲落和非線性動(dòng)力過(guò)程，從而使多基元、多組分、多層次的國(guó)際貿(mào)易信用非線性流動(dòng)，使系統(tǒng)各要素之間產(chǎn)生協(xié)調(diào)動(dòng)作和相干效應(yīng)。

二、國(guó)際貿(mào)易的非線性模型與方法

關(guān)于國(guó)際貿(mào)易非線性復(fù)雜系統(tǒng)的分析預(yù)測(cè)的模型與方法目前國(guó)內(nèi)外都有諸多探討，并取得了一定效果。下面按方法分類進(jìn)行評(píng)述。

(一) 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是目前應(yīng)用廣泛的非線性建模與預(yù)測(cè)方法，它具有較強(qiáng)的非線性映射功能，具魯棒性(robust)和容錯(cuò)性，在股市預(yù)測(cè)、證券預(yù)測(cè)、GDP預(yù)測(cè)、財(cái)務(wù)報(bào)警等經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域內(nèi)皆有應(yīng)用。各個(gè)領(lǐng)域的研究與應(yīng)用結(jié)果說(shuō)明，經(jīng)過(guò)恰當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)設(shè)置與模型學(xué)習(xí)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)精度可優(yōu)于其他傳統(tǒng)預(yù)測(cè)方法。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在國(guó)際貿(mào)易問(wèn)題的分析與預(yù)測(cè)方面也已有一些結(jié)果。李小紅(2007)[5]將BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于重慶外貿(mào)出口額的預(yù)測(cè)，建立起預(yù)測(cè)模型并進(jìn)行實(shí)證預(yù)測(cè)。結(jié)果表明，所建立的預(yù)測(cè)模型具有較高的預(yù)測(cè)精度，可以作為相關(guān)部門(mén)制定出口貿(mào)易發(fā)展目標(biāo)的參考依據(jù)。楊衛(wèi)和平瑛(2005)[6]利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立水產(chǎn)品貿(mào)易模型，選取1999年至2003年中國(guó)主要出口伙伴國(guó)的GDP值、我國(guó)水產(chǎn)品總量、出口水產(chǎn)品平均價(jià)格、進(jìn)口水產(chǎn)品平均價(jià)格，以其作為參數(shù)來(lái)考察它們與衡量出口的幾個(gè)主要指標(biāo): 出口總量、出口總額、各出口方式所占數(shù)量及總額等之間的關(guān)系。結(jié)果表明，利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型可以比較精確地預(yù)測(cè)水產(chǎn)品貿(mào)易情況，但也有些不足，如收斂不夠快，有時(shí)會(huì)受局部平坦或局部最小的影響。可考慮結(jié)合遺傳算法或其它一些全局收斂速度快的算法，來(lái)進(jìn)一步提高精確度。

近期更多的研究側(cè)重于考慮采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和其他方法的結(jié)合，通過(guò)建立混合模型來(lái)提高預(yù)測(cè)精度。張一、徐山鷹和汪壽陽(yáng)(2003)[7]分析了協(xié)整技術(shù)及在此基礎(chǔ)上建立的誤差校正模型在預(yù)測(cè)中的應(yīng)用。結(jié)合神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn)，他們提出了一個(gè)基于神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的非線性誤差糾正預(yù)測(cè)模型，選取了出口、外匯儲(chǔ)備和外國(guó)直接投資數(shù)據(jù)，建立了兩個(gè)在不同數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的出口預(yù)測(cè)模型，并對(duì)模型的結(jié)果進(jìn)行比較分析，證實(shí)兩個(gè)模型反映了中國(guó)近幾年出口的變化，都是比較可信的，并對(duì)兩個(gè)模型的結(jié)果取平均值作為2003年全年中國(guó)外貿(mào)出口最終的預(yù)測(cè)結(jié)果，預(yù)測(cè)了中國(guó)2003年出口貿(mào)易的大體情況。傅曉旗和謝雯(2005)[8]運(yùn)用協(xié)整分析方法和誤差校正模型及非線性BP神經(jīng)元算法，采用進(jìn)口、出口、外匯儲(chǔ)備、匯率等數(shù)據(jù)建立經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型，對(duì)2006年我國(guó)進(jìn)出口進(jìn)行預(yù)測(cè)。

Lean YU、Shouyang WANG和Kin Keung LAI (2008)[9]提出了一種新穎的非線性集成學(xué)習(xí)方法，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)上建立了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性誤差糾正預(yù)測(cè)模型(EC-VAR)，合理地運(yùn)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法、整合技術(shù)和人工智能(AI)方法，對(duì)中國(guó)的進(jìn)出口貿(mào)易進(jìn)行預(yù)測(cè)。

眾所周知，目前最常用的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型誤差反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中存在諸多有待解決的問(wèn)題:參數(shù)較多，并且部分參數(shù)要憑經(jīng)驗(yàn)主觀確定;模型極難建立，需要經(jīng)過(guò)反復(fù)多次訓(xùn)練和實(shí)驗(yàn);模型擬合精度與泛化能力矛盾問(wèn)題，也就是說(shuō)，可能會(huì)對(duì)訓(xùn)練樣本集“過(guò)度匹配”達(dá)到較高的擬合效果，而對(duì)于新的輸入樣本卻可能產(chǎn)生與目標(biāo)值差別較大的輸出。各個(gè)專家都在如何改進(jìn)這些問(wèn)題做積極探討。向劍偉(2007)[10]在相空間重構(gòu)的非線性思想基礎(chǔ)上，采用貝葉斯正則化方法，建立一個(gè)時(shí)滯BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，提高了BP網(wǎng)絡(luò)的泛化能力。他將該模型應(yīng)用于某電子行業(yè)進(jìn)出口貿(mào)易非線性時(shí)間序列預(yù)測(cè)中，結(jié)果說(shuō)明改進(jìn)的模型具有較好的泛化能力，較準(zhǔn)確地?cái)M合了進(jìn)出口貿(mào)易發(fā)展的歷史以及趨勢(shì)。

(二) 貝葉斯方法

貝葉斯方法源于英國(guó)學(xué)者貝葉斯于1763年在皇家學(xué)會(huì)學(xué)報(bào)上發(fā)表的論文《論機(jī)會(huì)學(xué)說(shuō)中一個(gè)問(wèn)題的求解》(An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances)。20世紀(jì)50年代后，隨著統(tǒng)計(jì)理論及方法的應(yīng)用范圍擴(kuò)大，貝葉斯理論也受到了歡迎，并迅速發(fā)展。貝葉斯基本思想是，將人們的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)作為先驗(yàn)信息和采集到的樣本信息一起結(jié)合到實(shí)際模型中，即利用先驗(yàn)信息、樣本信息來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

Bayes方法應(yīng)用廣泛，嚴(yán)格地說(shuō)并不能歸為非線性方法，但鑒于其靈活選擇先驗(yàn)分布的技術(shù)，對(duì)處理復(fù)雜經(jīng)濟(jì)問(wèn)題有其獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，所以本文也把他作為處理國(guó)際貿(mào)易問(wèn)題的工具之一來(lái)給于評(píng)述與推薦。此處主要給出幾個(gè)非線性模型的Bayes分析方法。

Jiang Weijin和Xu Yuhui(2006)[11]在相空間重構(gòu)思想下，提出了一種時(shí)滯BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并通過(guò)貝葉斯正規(guī)化方法，提高了泛化能力，效果良好。祝樹(shù)金和賴明勇(2005)[12]針對(duì)非線性時(shí)間序列預(yù)測(cè)，根據(jù)相空間重構(gòu)的非線性預(yù)報(bào)思想，利用G-P算法計(jì)算飽和嵌入維，即輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)，同時(shí)結(jié)合貝葉斯正則化方法確定隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)，并提高網(wǎng)絡(luò)的泛化能力，建立了一類時(shí)滯的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)報(bào)模型(TDBPNN)。該模型選擇了中國(guó)1989年1月至2003年6月進(jìn)出口貿(mào)易的月度數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，進(jìn)行歸一化處理，采用多步預(yù)測(cè)法，不僅能夠有效地?cái)M合實(shí)際數(shù)據(jù)，而且可以合理地預(yù)測(cè)實(shí)際序列的發(fā)展趨勢(shì)。前文也提及到向劍偉(2006)[10]采用貝葉斯正則化方法，建立一類新的時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(TDBP)預(yù)測(cè)模型，選取了一電子外貿(mào)企業(yè)1989年1月至2003年6月進(jìn)出口貿(mào)易月度數(shù)據(jù)作為學(xué)習(xí)樣本，運(yùn)用多步預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)了該企業(yè)2004年進(jìn)出口貿(mào)易發(fā)展趨勢(shì)。數(shù)據(jù)結(jié)果表明精度較好，能很好地跟蹤原時(shí)間序列，具有比現(xiàn)有同類方法更快的響應(yīng)性能，迭代次數(shù)減小，具有較強(qiáng)的魯棒性和泛化能力。

(三) 灰色系統(tǒng)理論

灰色系統(tǒng)是指元素(參數(shù))信息不完全、結(jié)構(gòu)信息不完全、關(guān)系信息不完全、運(yùn)行的行為信息不完全的系統(tǒng)?；疑到y(tǒng)理論即灰色系統(tǒng)所做的預(yù)測(cè)的一種理論框架，它是由我國(guó)著名控制專家鄧聚龍教授于20世紀(jì)80年代首先提出的?；疑到y(tǒng)理論是一種新的建模方法，它可以克服線性回歸模型的不足之處，對(duì)數(shù)據(jù)量的要求比較低，并且計(jì)算簡(jiǎn)單，建模精度高，被廣泛應(yīng)用于各種分析與預(yù)測(cè)領(lǐng)域。

在國(guó)際貿(mào)易方面，一些學(xué)者運(yùn)用灰色系統(tǒng)理論，對(duì)進(jìn)出口額進(jìn)行分析，預(yù)測(cè)進(jìn)出口貿(mào)易的發(fā)展趨勢(shì)。鄒晶和姜志新(2004)[13]建立了基開(kāi)GM(1，1)的灰色預(yù)測(cè)模型，選取中國(guó)2001年10月份到2003年5月份的外貿(mào)出口額作為樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)計(jì)算。通過(guò)對(duì)模型進(jìn)行應(yīng)用，將預(yù)測(cè)值與實(shí)際的外貿(mào)出口數(shù)值進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)誤差較小，模型基本符合要求。李蘇(2008)[14]采集了我國(guó)1990年至2004年的進(jìn)出口總額，對(duì)原始數(shù)據(jù)經(jīng)累加生成，經(jīng)過(guò)光滑性、準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律性檢驗(yàn)后，建立GM(1，1)的灰色預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)了2010、2015、2020年我國(guó)的進(jìn)出口貿(mào)易總額。綜合分析，預(yù)測(cè)結(jié)果比較符合我國(guó)進(jìn)出口貿(mào)易總額的實(shí)際發(fā)展趨勢(shì)。

(四) 支持向量機(jī)

支持向量機(jī)(Support Vector Machines，SVM)是上世紀(jì)90年代中期提出的一種機(jī)器學(xué)習(xí)算法，由于它具有自學(xué)習(xí)、自調(diào)整模型的特點(diǎn)，能對(duì)各種混沌系統(tǒng)產(chǎn)生較好的預(yù)測(cè)效果，使之成為當(dāng)前機(jī)器學(xué)習(xí)界的研究熱點(diǎn)。目前支持向量回歸模型已應(yīng)用在金融時(shí)間序列預(yù)測(cè)、產(chǎn)品需求和銷售預(yù)測(cè)、電力負(fù)荷預(yù)測(cè)和故障診斷等方面，獲得較好效果。

有學(xué)者運(yùn)用支持向量機(jī)方法，對(duì)進(jìn)出口數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析。肖智和陳婷婷(2006)[15]針對(duì)SVM以重慶市外貿(mào)出口信息為例，運(yùn)用SVM方法對(duì)重慶摩托車(chē)出口進(jìn)行了實(shí)證研究，建立了時(shí)序預(yù)測(cè)模型對(duì)其出口總量和發(fā)展趨勢(shì)做出了較為精確的預(yù)測(cè)。數(shù)據(jù)結(jié)果顯示，SVM方法在外貿(mào)進(jìn)出口信息分析預(yù)測(cè)中的運(yùn)用是可行的，而且SVM模型對(duì)樣本量小、波動(dòng)性強(qiáng)的外貿(mào)出口時(shí)序具有較高的預(yù)測(cè)精度，尤其是對(duì)其發(fā)展趨勢(shì)的預(yù)測(cè)，模型具有較高的擬合度。

(五) 協(xié)整分析、向量自回歸和誤差校正模型

基于協(xié)整關(guān)系的誤差校正(VEC)模型是一個(gè)含有協(xié)整約束的向量自回歸(VAR)模型，被認(rèn)為是一種精度較高的動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)模型。該模型在宏觀經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中得到日益廣泛的應(yīng)用，尤其是在貨幣需求、消費(fèi)、投資、進(jìn)出口方面取得了良好的效果。將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等非線性方法與該模型結(jié)合，建立一種非線性混合預(yù)測(cè)模型，應(yīng)用于進(jìn)出口貿(mào)易，能得到更精確的預(yù)測(cè)結(jié)果。

協(xié)整分析方法的系統(tǒng)提出和介紹歸功于Engle和Granger(1987)。該方法的基礎(chǔ)思想是:如果兩個(gè)或以上的變量的值呈現(xiàn)非平穩(wěn)性，但它們的某種線性組合卻呈現(xiàn)平穩(wěn)性，表明變量之間存在某種長(zhǎng)期穩(wěn)定關(guān)系，即協(xié)整關(guān)系。如果非平穩(wěn)的變量之間存在協(xié)整關(guān)系，必然可以建立一個(gè)誤差校正模型。

在國(guó)際貿(mào)易中，很多學(xué)者利用了協(xié)整分析方法和誤差校正模型，對(duì)我國(guó)進(jìn)出口進(jìn)行預(yù)測(cè)。徐山鷹和汪壽陽(yáng)(2006)[8]通過(guò)對(duì)2005年我國(guó)對(duì)外貿(mào)易形勢(shì)和2006年國(guó)內(nèi)外宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境的分析，采用1994年1月份到2005年11月份的月度數(shù)據(jù)，建立了誤差較正模型，并使用BP神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)方法進(jìn)行非線性誤差較正，對(duì)2006年我國(guó)進(jìn)出口進(jìn)行預(yù)測(cè)。程桂云(2007)[16]選取國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)、出口額(EX)、進(jìn)口額(IM)三個(gè)變量作為研究對(duì)象，選取遼寧省1979-2004年的年度數(shù)據(jù)作為樣本區(qū)間，對(duì)各變量數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)，然后對(duì)LNGDP、LNEX、LNIM三個(gè)變量進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)和協(xié)整檢驗(yàn)，建立向量誤差修正模型(VECM)，最后對(duì)各變量進(jìn)行GRANGER因果性檢驗(yàn)，對(duì)遼寧省的對(duì)外貿(mào)易與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)之間的長(zhǎng)短期關(guān)系進(jìn)行了實(shí)證分析的檢驗(yàn)。菲和馬超群(2008)[17]根據(jù)1999年1月到2006年6月的月度出口貿(mào)易額數(shù)據(jù)，建立了一種基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和誤差校正向量自回歸模型的非線性混合預(yù)測(cè)模型?！糐P+1〗結(jié)果顯示，該模型能夠反映經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中各變量的長(zhǎng)期均衡關(guān)系，同時(shí)非線性的協(xié)整變量能夠反映出經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)其他變量的短期波動(dòng)對(duì)預(yù)測(cè)變量的影響，適合于經(jīng)濟(jì)變量的預(yù)測(cè)。

三、結(jié)束語(yǔ)

對(duì)國(guó)際貿(mào)易非線性經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的分析、研究與應(yīng)用，目前已有一些成果，并在不斷地完善與發(fā)展中。國(guó)際貿(mào)易的定量分析與預(yù)測(cè)問(wèn)題極其復(fù)雜，影響因素眾多，不可能建立一種完全統(tǒng)一的模型，應(yīng)該根據(jù)不同的目的，不同的數(shù)據(jù)特征，應(yīng)用多種分析方法，去選取、建立合適的模型。而且應(yīng)該及時(shí)根據(jù)影響國(guó)際貿(mào)易的因素的變化來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，不斷改進(jìn)和完善模型及方法，提高分析、評(píng)估和預(yù)測(cè)的效果，為我國(guó)相關(guān)部門(mén)提供正確的決策依據(jù)。

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第7篇：數(shù)學(xué)建模魯棒性分析范文

關(guān)鍵字：數(shù)據(jù)挖掘方法

中圖分類號(hào)： C37 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

數(shù)據(jù)挖掘，也可以稱為數(shù)據(jù)庫(kù)中的知識(shí)發(fā)現(xiàn) (Knowledge Discover Database，KDD)，就是從大量的、不完全的、有噪聲的、模糊的、隨機(jī)的實(shí)際應(yīng)用數(shù)據(jù)中，提取隱含在其中的、人們事先不知道的、但又是潛在有用的信息和知識(shí)的過(guò)程[16]。實(shí)際上這是一個(gè)模式提取的過(guò)程，主要基于人工智能、機(jī)器學(xué)習(xí)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等技術(shù)，高度自動(dòng)化的分析企業(yè)原有的數(shù)據(jù)，做出歸納行的推理，從中挖掘出潛在的模式，預(yù)測(cè)客戶的行為，幫助企業(yè)的決策者調(diào)整市場(chǎng)策略，減少風(fēng)險(xiǎn)，做出正確的決策。

1 數(shù)據(jù)挖掘的分類

數(shù)據(jù)挖掘就是發(fā)現(xiàn)隱藏在數(shù)據(jù)中的模式。它所發(fā)現(xiàn)的模式按功能模型一般可分為兩大類:描述型(descriptive)的模式和預(yù)測(cè)型(predictive)模式[21]。描述型的模式是對(duì)當(dāng)前數(shù)據(jù)中存在的事實(shí)做規(guī)范的描述，它所揭示的是當(dāng)前數(shù)據(jù)的一般特性；預(yù)測(cè)型模型則是以時(shí)間為關(guān)鍵參數(shù)，對(duì)于時(shí)間序列型數(shù)據(jù)，根據(jù)其歷史和當(dāng)前的值去預(yù)測(cè)其未來(lái)的值。根據(jù)模式的特征，預(yù)測(cè)和描述可以通過(guò)下面的任務(wù)來(lái)完成。

圖1 數(shù)據(jù)挖掘模型

1) 關(guān)聯(lián)規(guī)則(Association Rules)

關(guān)聯(lián)模式是數(shù)據(jù)項(xiàng)之間存在的關(guān)聯(lián)規(guī)則，是在同一事件中出現(xiàn)不同項(xiàng)之間的相關(guān)性，例如客戶在一次購(gòu)買(mǎi)活動(dòng)中所購(gòu)買(mǎi)的不同商品之間的關(guān)聯(lián)性。在數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域，對(duì)于關(guān)聯(lián)模式的研究開(kāi)展得比較深入，人們提出了多種關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘算法，如Apriori,DHP,Partition,Sampling,FP-Growth等算法。這些算法能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)庫(kù)中形如“80%的客戶在一次購(gòu)買(mǎi)活動(dòng)中購(gòu)買(mǎi)X商品的同時(shí)也購(gòu)買(mǎi)Y商品”之類的知識(shí)。

2) 分類分析(Classification)

分類就是構(gòu)造一個(gè)分類模型，把具有某些特征的數(shù)據(jù)項(xiàng)映射到某個(gè)給定的類別上。這個(gè)過(guò)程分為兩步:模型的創(chuàng)建和模型的使用。模型的創(chuàng)建是指通過(guò)對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的學(xué)習(xí)建立分類模型;模型使用是指使用分類模型對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)和新的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類。其中的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集是帶有類標(biāo)號(hào)的，也就是在分類之前，要?jiǎng)澐值念悇e是已經(jīng)確定的，通常分類模型是以分類規(guī)則、決策樹(shù)或數(shù)學(xué)表達(dá)式的形式給出的。

分類模式往往表現(xiàn)為一棵樹(shù)，從樹(shù)根開(kāi)始搜索，沿著數(shù)據(jù)滿足的分支走。走到樹(shù)葉時(shí)就能確定類別。已有許多數(shù)據(jù)分類方法，如決策樹(shù)方法、統(tǒng)計(jì)方法及粗糙集方法等。Metha, Agrawal, Rissanen等人開(kāi)始研究面向數(shù)據(jù)庫(kù)的分類方法。J. Han等人在他們開(kāi)發(fā)的知識(shí)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)DBMiner中采用了基于概括的決策樹(shù)方法，該方法集成了面向?qū)傩缘臍w納和決策歸納技術(shù)。

3) 聚類分析(Clustering)

聚類就是根據(jù)數(shù)據(jù)的屬性對(duì)一系列未分類數(shù)據(jù)進(jìn)行類別劃分，把一組個(gè)體按照相似性分成若干個(gè)類或簇，即“物以類聚”。其目的是使類間的數(shù)據(jù)差別盡能大，類內(nèi)的數(shù)據(jù)差別盡可能小，即“最小化類間的相似性，最大化類內(nèi)的相似性”原則。與分類模式不同的是聚類中要?jiǎng)澐值念悇e是未知的，它是不依賴于預(yù)先定義的類和帶類標(biāo)號(hào)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的非監(jiān)督學(xué)習(xí)(unsupervised learning )，無(wú)需背景知識(shí)，其中類的數(shù)量由系統(tǒng)按照某種性能指標(biāo)自動(dòng)確定。聚類分析的方法有很多，其中包括系統(tǒng)聚類法、分解法、加入法、動(dòng)態(tài)聚類法、模糊聚類法、運(yùn)籌方法等。采用不同的聚類方法，對(duì)于相同的記錄集合可能有不同劃分結(jié)果。

4) 回歸分析(Regression)

回歸模式的函數(shù)定義與分類模式相似，主要差別在于分類模式采用離散預(yù)測(cè)值(例如類標(biāo)號(hào))，而回歸模式則采用連續(xù)的預(yù)測(cè)值。它通過(guò)具有己知值的變量來(lái)預(yù)測(cè)其他變量的值。在最簡(jiǎn)單的情況下，回歸采用的是類似于線性回歸的標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計(jì)技術(shù)。但在大多數(shù)現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題是不能用簡(jiǎn)單的線性回歸所能預(yù)測(cè)的。如商品的銷售量、股票價(jià)格、產(chǎn)品合格率等，很難找到簡(jiǎn)單有效的方法來(lái)預(yù)測(cè)，因?yàn)橐耆孛枋鲞@些事件的變化需要上百個(gè)變量，而且這些變量本身往往都是非線性的。為此學(xué)術(shù)界提出了很多試圖解決這個(gè)問(wèn)題方法，如邏輯回歸、決策樹(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。

5) 序列模式分析(Sequential)

序列模式分析和關(guān)聯(lián)規(guī)則分析相似，它是描述基于時(shí)間或其他序列的經(jīng)常發(fā)生的規(guī)律或趨勢(shì)，并對(duì)其進(jìn)行建模。它能發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)庫(kù)中形如“在某一段時(shí)間內(nèi)，75%的顧客購(gòu)買(mǎi)商品A，接著購(gòu)買(mǎi)商品B，然后又購(gòu)買(mǎi)商品C，即序列A-B- C出現(xiàn)的頻度較高”之類的知識(shí)。序列模式將關(guān)聯(lián)模式和時(shí)間序列模式結(jié)合起來(lái)，重點(diǎn)考慮數(shù)據(jù)之間在時(shí)間維上的關(guān)聯(lián)性。在進(jìn)行序列模式挖掘時(shí)主要有以下幾個(gè)問(wèn)題值得注意:首先是序列的持續(xù)時(shí)間，也就是某個(gè)時(shí)間序列的有效時(shí)間或者是用戶選擇的一個(gè)時(shí)間段:其次是時(shí)間折疊窗口，即在某一段時(shí)間內(nèi)發(fā)生的事件可以被看作是同時(shí)發(fā)生的;最后是所發(fā)現(xiàn)的模式時(shí)間間隔。

6) 偏差分析(Deviation)

偏差分析是指對(duì)差異或極端特例的描述，如聚類劃分外的偏離值。在大多數(shù)據(jù)挖掘方法中都是將這些偏差信息作為噪聲而丟掉，然而在一些實(shí)際應(yīng)用中，這種罕見(jiàn)的數(shù)據(jù)可能比正常的數(shù)據(jù)更有價(jià)值。比如網(wǎng)絡(luò)的入侵檢測(cè)和信用卡的欺詐檢測(cè)等。我們可在通過(guò)這些異常數(shù)據(jù)的偏差來(lái)分析其中的原因，以便對(duì)其采用相應(yīng)的措施。

2 數(shù)據(jù)挖掘的主要方法

數(shù)據(jù)挖掘是一門(mén)新興的研究領(lǐng)域，其技術(shù)基礎(chǔ)是人工智能(Artificial Intelligence )。它借鑒了信息論、數(shù)理邏輯、進(jìn)化計(jì)算、神經(jīng)計(jì)算和統(tǒng)計(jì)學(xué)等理論和算法[22]。在此介紹幾種主流的方法。

1) 遺傳算法

遺傳算法是一種基于生物進(jìn)化過(guò)程的組合優(yōu)化方法，它是生物學(xué)和計(jì)算機(jī)相結(jié)合的產(chǎn)物，由美國(guó)密西根大學(xué)的D.J Holland教授和他的同事們?cè)?975年首次提出的。根據(jù)適者生存的原則模擬自然界的生命進(jìn)化機(jī)制，形成當(dāng)前群體適合的規(guī)則組成新群體，以及這些規(guī)則的后代。

基于這些思想，根據(jù)遺傳算法的最適合模型，并進(jìn)一步對(duì)數(shù)據(jù)模型進(jìn)行優(yōu)化。

由于遺傳算法是一種弱算法，具有高效性和靈活性的特點(diǎn)，在數(shù)據(jù)挖掘中也用于評(píng)估其他算法的適應(yīng)度。

遺傳算法擅長(zhǎng)于數(shù)據(jù)聚類，通過(guò)事件的類比和空間上的類比，可以把大量繁雜的信息數(shù)據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)化、條理化，從而找出數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在關(guān)系，得出有用的概念和模式。再建立數(shù)據(jù)模式時(shí)，將遺傳算法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，可以更好地提高模型的適應(yīng)性。因此遺傳算法廣泛應(yīng)用于自動(dòng)控制、機(jī)器學(xué)習(xí)、模式識(shí)別和組合優(yōu)化等領(lǐng)域。

2) 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(neural network )是由多個(gè)神經(jīng)元按照某種方式相互連接形成，靠網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)對(duì)外部輸入信息的動(dòng)態(tài)響應(yīng)來(lái)處理信息，網(wǎng)絡(luò)的信息分布式存儲(chǔ)于連接權(quán)系數(shù)中，使網(wǎng)絡(luò)具有很強(qiáng)的容錯(cuò)性和魯棒性。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的核心是結(jié)構(gòu)和算法，例如Hopfield網(wǎng)就是以結(jié)構(gòu)見(jiàn)長(zhǎng)，而B(niǎo)P (back propagation)網(wǎng)是以算法見(jiàn)長(zhǎng)。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和基于符號(hào)的傳統(tǒng)技術(shù)相比，具有直觀性、并行性和抗噪聲性。目前，已出現(xiàn)了許多網(wǎng)絡(luò)模型和學(xué)習(xí)算法，主要用于分類、優(yōu)化、模式識(shí)別、預(yù)測(cè)和控制等領(lǐng)域。在數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域，主要采用前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提取分類規(guī)則。

在數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于數(shù)據(jù)挖掘，重點(diǎn)要解決好以下兩個(gè)問(wèn)題：一是降低訓(xùn)練時(shí)間，二是挖掘結(jié)果的可理解性

3) 統(tǒng)計(jì)分析方法

統(tǒng)計(jì)分析方法是利用統(tǒng)計(jì)學(xué)、概率論的原理對(duì)數(shù)據(jù)庫(kù)中的各屬性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，從而找出其中的關(guān)系和規(guī)律。統(tǒng)計(jì)分析方法是最基本的數(shù)據(jù)挖掘方法之一。常用的統(tǒng)計(jì)分析方法有

判別分析法：建立一個(gè)或多個(gè)判別函數(shù)，并確定一個(gè)判別標(biāo)準(zhǔn)，然后對(duì)未知屬性的對(duì)象根據(jù)觀測(cè)值將其劃分歸為已知類別中的一類。

因子分析法：用較少的綜合變量來(lái)表達(dá)多個(gè)觀察變量。根據(jù)相關(guān)性大小把變量分組，使得各組內(nèi)的變量之間相關(guān)性較高，不同組變量的相關(guān)性較低。

相關(guān)分析和回歸分析法：相關(guān)分析是用相關(guān)關(guān)系來(lái)度量變量間的相關(guān)程度。回歸分析是用數(shù)學(xué)方程來(lái)表示變量間的數(shù)量關(guān)系，方法有線性回歸和非線性回歸。

偏最小二乘回歸法：是一種新型的多元統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析方法，它主要研究的是多因變量(結(jié)果)對(duì)多自變量(原因)的回歸建模，特別當(dāng)各變量?jī)?nèi)部高度線性相關(guān)時(shí)，用偏最小二乘回歸法更有效。另外，偏最小二乘回歸較好地解決了樣本個(gè)數(shù)少于變量個(gè)數(shù)等問(wèn)題。

在數(shù)據(jù)挖掘中，統(tǒng)計(jì)分析方法適用于分類挖掘和聚類挖掘。

4) 粗集方法

粗集(rough set)理論的特點(diǎn)是不需要預(yù)先給定某些特征或?qū)傩缘臄?shù)量描述，而是直接從給定問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)不可分辨關(guān)系和不可分辨類確定問(wèn)題的近似域，從而找出該問(wèn)題中的內(nèi)在規(guī)律。粗集理論同模糊集、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、證據(jù)理論等其它理論均成為不確定性計(jì)算的一個(gè)重要分支。

粗集理論是由波蘭華沙理工大學(xué)的Z.Pawlak教授于1982年提出的一種研究不完整、不確定知識(shí)和數(shù)據(jù)的表達(dá)、學(xué)習(xí)及歸納的理論方法。粗集理論采用了上近似集合、下近似集合和邊界來(lái)定義粗糙集。

粗糙集合理論可以用于分類，發(fā)現(xiàn)不準(zhǔn)確數(shù)據(jù)或噪聲數(shù)據(jù)內(nèi)在的聯(lián)系。找出可以描述給定數(shù)據(jù)集中所有概念的屬性子集是個(gè)難題。在給定的現(xiàn)實(shí)世界數(shù)據(jù)中，往往有些類不能被可用的屬性區(qū)分，則可以用粗糙集合來(lái)近似地定義這些類。根據(jù)目前己有的給定問(wèn)題的知識(shí)，將問(wèn)題的論域進(jìn)行劃分，然后對(duì)劃分后的每一個(gè)組成部分確定其對(duì)某一概念的支持度，即肯定支持此概念或不支持此概念和模糊概念。上述情況分別用3個(gè)近似集合來(lái)表示。即將知識(shí)定義為對(duì)事物的分類能力。這種能力分別由上近似集、下近似集、等價(jià)關(guān)系等概念來(lái)體現(xiàn)。

5) 決策樹(shù)方法

決策樹(shù)((decision tree)是一個(gè)類似于流程圖的樹(shù)型結(jié)構(gòu)，其中樹(shù)的每一個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)代表對(duì)一個(gè)屬性的測(cè)試，其分支代表測(cè)試的每一個(gè)結(jié)果：樹(shù)的每一個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)類別。決策樹(shù)通過(guò)一系列的規(guī)則對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類。目前許多基于規(guī)則進(jìn)行歸納的商用數(shù)據(jù)挖掘系統(tǒng)都是采用決策樹(shù)方法。

決策樹(shù)分類方法的優(yōu)點(diǎn):

1、決策樹(shù)方法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，便于人們理解;

2、決策樹(shù)模型效率高，對(duì)訓(xùn)練及數(shù)據(jù)量大的情況較為合適;

3、決策樹(shù)方法具有較高的分類精確度;

4、決策樹(shù)可以清晰的顯示哪些字段比較重要。

建立一棵決策樹(shù)可能只要對(duì)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行幾遍掃描之后就能完成，這也意味著需要計(jì)算的資源較少，而且可以很容易的處理包含很多預(yù)測(cè)變量的情況，因此決策樹(shù)模型可以建立的很快，并適用于大量的數(shù)據(jù)處理。常用的算法有CHAID，CART，Quest、C5.0和ID3算法。

建立決策樹(shù)的過(guò)程，即樹(shù)的生長(zhǎng)過(guò)程是不斷地把數(shù)據(jù)進(jìn)行切分的過(guò)程，每次切分對(duì)應(yīng)一個(gè)問(wèn)題，也對(duì)應(yīng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)。對(duì)每個(gè)切分都要求分成的組之間的差異最大。各種決策樹(shù)算法之間的k要區(qū)別就是對(duì)這個(gè)“差異”衡量方式的區(qū)別。

對(duì)決策樹(shù)的批評(píng)常見(jiàn)的是，認(rèn)為其在為一個(gè)節(jié)點(diǎn)選擇怎樣進(jìn)行分割時(shí)使用的“貪心”算法。此種算法在決定當(dāng)前分割時(shí)根本不考慮此次選擇會(huì)對(duì)將來(lái)的分割產(chǎn)生什么樣的影響。換句話說(shuō)，所有的分割都是順序完成的，一個(gè)節(jié)點(diǎn)完成分割之后不可能以后還有機(jī)會(huì)回頭考慮此次分割的合理性，每次分割都是依賴于它前面的分割方法，只要第一次分割有一點(diǎn)點(diǎn)不同，那么由此得到的整個(gè)決策樹(shù)就會(huì)完全不同。

除上述方法外，還有把數(shù)據(jù)與結(jié)果轉(zhuǎn)化表達(dá)成可視化形式的可視化技術(shù)、模型方法和歸納學(xué)習(xí)等方法。

參考文獻(xiàn)

第8篇：數(shù)學(xué)建模魯棒性分析范文

隨著各行各業(yè)對(duì)板帶材質(zhì)量要求的不斷提高，軋輥偏心成為影響產(chǎn)品質(zhì)量的不容忽視的重要因素。厚度控制過(guò)程中的軋輥偏心控制技術(shù)的開(kāi)發(fā)和研究仍然是板帶材軋制所面臨的共同課題。我國(guó)對(duì)軋輥偏心控制問(wèn)題的研究還不深入，本論文的工作就是試圖在這方面做些努力。

本文的研究?jī)?nèi)容是厚度控制過(guò)程的軋輥偏心控制技術(shù)，著重探索應(yīng)用重復(fù)控制抑制軋輥偏心的控制方法，從頻域和離散域兩個(gè)方面提出厚度控制系統(tǒng)的重復(fù)控制器的設(shè)計(jì)方案，并對(duì)方案在穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)特性、過(guò)渡過(guò)程特性和魯棒性方面進(jìn)行理論分析，同時(shí)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究。本文的主要工作如下：

⑴ 給出了冷軋厚度控制的數(shù)學(xué)模型和軋件硬度波動(dòng)前饋補(bǔ)償?shù)目刂颇Ｐ?；?duì)軋輥偏心進(jìn)行了系統(tǒng)、深入的研究，給出獲得偏心信號(hào)模型的改進(jìn)快速傅立葉變換的方法；

⑵ 針對(duì)單輸入單輸出PID厚度控制系統(tǒng)，首先提出了單軋輥偏心擾動(dòng)重復(fù)控制頻域設(shè)計(jì)方案，在重復(fù)控制環(huán)節(jié)中引入一種補(bǔ)償器，有效提高了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度。其次提出了多軋輥偏心擾動(dòng)重復(fù)控制頻域設(shè)計(jì)方案，提出了軋輥偏心的并行重復(fù)控制器結(jié)構(gòu)。

⑶ 針對(duì)多輸入多輸出厚度、張力控制系統(tǒng)，首先給出了系統(tǒng)控制對(duì)象模型，其次提出了單軋輥偏心重復(fù)控制頻域設(shè)計(jì)方案，然后擴(kuò)展到多軋輥偏心控制系統(tǒng)，并給出了單軋輥偏心擾動(dòng)和多軋輥偏心擾動(dòng)時(shí)重復(fù)控制補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)方法。

⑷ 針對(duì)重復(fù)控制對(duì)偏心擾動(dòng)的基波及其諧波抑制效果較好，而對(duì)基波和諧波附近頻率擾動(dòng)的抑制較差問(wèn)題，提出了一種魯棒重復(fù)控制結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)對(duì)軋輥偏心擾動(dòng)信號(hào)的周期不確定性有較強(qiáng)的魯棒性。

⑸ 因工程中普遍采用數(shù)字化設(shè)計(jì)，對(duì)于流量AGC、反饋AGC控制結(jié)構(gòu)及流量AGC、反饋AGC、軋件硬度前饋的控制結(jié)構(gòu)分別提出了單軋輥偏心、雙軋輥偏心及多軋輥偏心魯棒數(shù)字重復(fù)控制器設(shè)計(jì)方案。這些設(shè)計(jì)方案能有效地降低補(bǔ)償器階次。

理論分析和仿真結(jié)果證明上述提出的系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案的有效性。

Application study on roll eccentricity control on cold rolling AGC system based on repetitive control

Abstract

As the tolerance requirement for the thickness of steel plate and strip products getting tighter and tighter, the roll eccentricity is becoming more and more important factor affecting the product quality. To precisely control the flat rolled products in cold rolling, an investigation on roll eccentricity becomes essential and such research is lacked in our country so far. In this thesis, attention is focused on control of gauge of steel plate and strip in the presence of periodic disturbances such as the eccentricity.

Repetitive control system, known to be effective for periodic disturbance, seems to fit naturally with the eccentricity compensation problem. The roll eccentricity control technologies in cold rolling of flat rolled strip based on repetitive control theory are mainly studied in this dissertation. The key innovations of this paper are summarized as follows:

⑴ The mathematical models of steel plate and strip gauge control are presented. A control scheme of feed forward compensation for material rigidity is put forward. Through theoretical analysis, the characteristics of roll eccentricity are summarized. An modified Fast Fourier Transform algorithm of acquiring roll eccentricity signal is proposed.

⑵ For SISO PID gauge control system, design in the frequency domain based on repetitive controller rejecting single roll eccentricity disturbance is introduced. A compensator is included for the first time in the control scheme. In addition, a control structure of repetitive controllers resisting multi roll eccentricity disturbance is proposed. All the design schemes have been analyzed. Simulations show that proposed schemes are effective.

⑶ For MIMO gauge and tension control system, repetitive control for a single roll eccentricity compensation is first presented.The structure is then extended to the case of multiple roll eccentricity. The design method of compensator of repetitive controllers is introduced. Theoretical analysis and simulation results are presented to demonstrate the effectiveness of the repetitive control structure proposed.

⑷ Repetitive control is useful if periodic disturbances act on a control system. Perfect (asymptotic) disturbance rejection can be achieved if the period is known exactly. For those cases where the roll eccentricity period changes, a robust repetitive controller structure is proposed. It uses a robust repetitive control structure in the feedback configuration, so that small changes of period do not degrade the disturbance rejection properties. The robust repetitive controller shows good result for rejecting eccentricity.

⑸ The digital robust repetitive control schemes compensating single and multiple roll eccentricity are proposed. The design framework can reduce the order of compensator effectively. The gauge adopt the structure of constant volume flow AGC and feedback AGC , avoiding system instability caused by control delay of measurement of height instrument. The material rigidity feedforward is added to the gauge control structure. The theoretical analysis and simulation results on the two gauge control structure show a good performance on the rejection of disturbances such as eccentricity.

目 錄

摘 要 1

Abstract 2

1 緒論 1

1.1 問(wèn)題的提出 1 1.3 重復(fù)控制理論研究現(xiàn)狀 12

1.4 本文的主要工作及各部分內(nèi)容安排 14

1.4.1 主要研究?jī)?nèi)容 14 2 軋輥偏心問(wèn)題的理論分析和冷軋板板帶厚度控制模型 17

2.1 軋輥偏心問(wèn)題的理論分析 17

2.1.1 輥身和輥徑不同軸的情況 17 2.1.3 偏心信號(hào)的采集和處理 20

2.1.4 應(yīng)用MMFFT方法的偏心控制方案 31

2.2 帶鋼厚度控制模型 35

2.2.1 帶鋼冷軋過(guò)程的基本方程 35

2.2.2 厚度反饋控制模型 38

2.2.3 前饋控制模型 41

2.3 本章小結(jié) 44

3 冷軋SISO板厚控制過(guò)程中軋輥偏心的重復(fù)控制 45

3.1 單軋輥偏心擾動(dòng)重復(fù)控制系統(tǒng) 45

3.1.1 厚度控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及組成 45 3.1.3 重復(fù)控制環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì) 54

3.1.4 重復(fù)控制和魯棒PID控制混合設(shè)計(jì) 58

3.2 雙軋輥偏心重復(fù)控制系統(tǒng) 61

3.2.1 雙軋輥偏心重復(fù)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及仿真 61

3.2.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 62

3.3 多軋輥偏心重復(fù)控制系統(tǒng) 65

3.3.1 多軋輥偏心重復(fù)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及仿真 65

3.3.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 66

3.4 本章小結(jié) 67

4 MIMO厚度、張力控制系統(tǒng)的軋輥偏心重復(fù)控制 69

4.1 厚度和張力控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和對(duì)象模型 69

4.1.1 過(guò)程控制模型 69 4.1.3 厚度、張力及速度控制系統(tǒng)的解耦 75

4.1.4 閉環(huán)控制系統(tǒng)仿真 78

4.2 單軋輥偏心擾動(dòng)重復(fù)控制系統(tǒng) 80

4.2.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 80

4.2.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 80

4.2.3 系統(tǒng)品質(zhì)分析 83

4.2.4 系統(tǒng)魯棒性能分析 84

4.2.5 重復(fù)控制器設(shè)計(jì) 84

4.2.6 系統(tǒng)仿真 85

4.3 多軋輥偏心擾動(dòng)重復(fù)控制系統(tǒng) 86

4.3.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 86

4.3.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 87

4.3.3 系統(tǒng)性能分析 88

4.3.4 系統(tǒng)魯棒性分析 89

4.3.5 系統(tǒng)設(shè)計(jì)及仿真 90

4.4 本章小結(jié) 96

5 周期不確定的軋輥偏心魯棒重復(fù)控制系統(tǒng) 97

5.1 周期不確定軋輥偏心擾動(dòng)的重復(fù)控制原理和結(jié)構(gòu) 97

5.1.1 常規(guī)重復(fù)器的結(jié)構(gòu)及其對(duì)周期不確定擾動(dòng)抑制分析 97 5.2 周期不確定單軋輥偏心擾動(dòng)的魯棒重復(fù)控制系統(tǒng) 106

5.2.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 107

5.2.2 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能 108

5.2.3 系統(tǒng)魯棒性分析 108

5.2.4 系統(tǒng)仿真 109

5.3 多周期偏心擾動(dòng)的魯棒重復(fù)控制系統(tǒng) 110

5.3.1 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及穩(wěn)定性 110

5.3.2 雙軋輥偏心擾動(dòng)的魯棒重復(fù)控制系統(tǒng)仿真 112

5.4 本章小結(jié) 113

6 厚度控制過(guò)程的軋輥偏心擾動(dòng)數(shù)字魯棒重復(fù)控制 114

6.1 數(shù)字重復(fù)控制器抑制擾動(dòng)信號(hào)的原理 115

6.2 單周期(基波)擾動(dòng)的魯棒數(shù)字重復(fù)控制系統(tǒng) 116

6.2.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 116

6.2.2 單周期擾動(dòng)魯棒重復(fù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 119

6.2.3 單周期擾動(dòng)魯棒重復(fù)控制系統(tǒng)約束條件分析 121

6.2.4 單軋輥偏心(基波)擾動(dòng)數(shù)字魯棒重復(fù)控制系統(tǒng) 124

6.3 基波及二次諧波擾動(dòng)魯棒數(shù)字重復(fù)控制系統(tǒng) 126 6.3.2 數(shù)字重復(fù)控制器的設(shè)計(jì) 129

6.3.3 單軋輥偏心擾動(dòng)(基波及二次諧波)魯棒數(shù)字重復(fù)控制系統(tǒng) 129

6.4 多周期擾動(dòng)魯棒數(shù)字控制系統(tǒng) 131

6.4.1 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及魯棒穩(wěn)定性 131

6.4.2 雙軋輥偏心擾動(dòng)魯棒數(shù)字重復(fù)控制系統(tǒng) 134

6.5 本章小結(jié) 135

7 總結(jié)與展望 136

7.1 本文的工作總結(jié) 136

7.2 今后研究展望 136

參 考 文 獻(xiàn) 138

在學(xué)研究成果 145

致 謝 146

緒論

問(wèn)題的提出 冷軋過(guò)程中，影響產(chǎn)品厚度精度的因素很多，但大體可分為兩大類[3～5]，即軋件工藝參數(shù)的變化和軋機(jī)狀態(tài)的變化。軋件工藝參數(shù)的變化，主要包括材料的變形抗力和坯料尺寸以及張力、工藝等軋制工作條件的變化。板帶材的化學(xué)成分和組織的不均勻、焊接時(shí)的焊縫等都會(huì)造成材料變形抗力的變化，在冷軋時(shí)引起出口厚度的波動(dòng)。熱軋鋼卷(來(lái)料)帶來(lái)的擾動(dòng)主要有熱軋帶厚不勻，這是由于熱軋?jiān)O(shè)定模型及AGC控制不良造成的，來(lái)料厚度不均勻?qū)⑹箤?shí)際壓下量產(chǎn)生波動(dòng)，導(dǎo)致軋制壓力和彈跳的變化，進(jìn)而影響產(chǎn)品厚度精度；熱軋卷硬度不勻(變形阻力)，這是由于熱軋終軋及卷取溫度控制不良造成的。來(lái)料厚差將隨著冷軋厚度控制逐架減少。但來(lái)料硬度確具有重發(fā)性，即硬度較大或較小的該段帶鋼進(jìn)入每一機(jī)架都將產(chǎn)生厚差。冷軋時(shí)帶鋼前后張力的變化、軋制速度的變化及摩擦系數(shù)波動(dòng)等也是造成軋出厚度波動(dòng)的原因。帶鋼軋制過(guò)程中的張力變化會(huì)改變變形區(qū)應(yīng)力狀態(tài)，從而造成軋制壓力的波動(dòng)和軋出厚度的不均。軋制速度變化主要是通過(guò)摩擦系數(shù)、軸承油膜厚度來(lái)影響軋制壓力和實(shí)際輥縫，導(dǎo)致軋出厚度的變化。軋機(jī)本身的擾動(dòng)主要包括不同速度和壓力條件下油膜軸承的油膜厚度將不同(特別是加減速時(shí)油膜厚度的變化)、軋輥偏心、軋機(jī)各部分熱膨脹、軋輥磨損等。軋輥偏心是高頻擾動(dòng)，會(huì)引起板厚周期性波動(dòng)，影響產(chǎn)品質(zhì)量。

此外還有工藝等其它原因造成的厚差，屬于這類的有：不同軋制乳液以及不同速度條件下軋輥－軋件間軋制摩擦系數(shù)的不同(包括加減速時(shí)的摩擦系數(shù)的波動(dòng))；全連續(xù)冷連軋或酸洗－冷連軋聯(lián)合機(jī)組在工藝上需要的動(dòng)態(tài)變規(guī)格將產(chǎn)生一個(gè)楔形過(guò)渡段；酸洗焊縫或軋制焊縫通過(guò)軋機(jī)時(shí)造成的厚差。這一類屬于非正常狀態(tài)厚差，不是冷軋AGC所能解決的，是不可避免的。

根據(jù)產(chǎn)生帶鋼厚度偏差的不同原因，可采取相應(yīng)的厚度調(diào)節(jié)方式和措施來(lái)消除或減少它。目前，按其調(diào)節(jié)方式概括為[6,7]：

⑴ 調(diào)節(jié)壓下量即改變輥縫；

⑵ 改變帶鋼在機(jī)架前、后張力或一側(cè)的張力，即改變軋件塑性曲線的陡度；

⑶ 改變軋制速度；

⑷ 同時(shí)改變軋輥輥縫與帶鋼張力。

在上述調(diào)節(jié)方式中，最常用的是調(diào)節(jié)壓下的厚度控制方法[8～10]。調(diào)節(jié)壓下量即調(diào)節(jié)輥縫有兩種不同方式，即：

① 電動(dòng)桿渦輪帶動(dòng)壓下螺絲轉(zhuǎn)動(dòng)使工作輥之間的相對(duì)輥縫產(chǎn)生變化來(lái)實(shí)現(xiàn)帶鋼厚度控制的。由于電機(jī)、減速機(jī)的慣性很大，電機(jī)及傳動(dòng)系統(tǒng)的啟動(dòng)、制動(dòng)時(shí)間長(zhǎng)，因此，從厚度控制指令發(fā)出到軋出預(yù)定的帶鋼厚度其控制時(shí)間更長(zhǎng)。另外，因需大的電機(jī)、減速壓下 它是通過(guò)電機(jī)、減速機(jī)、蝸機(jī)等機(jī)電設(shè)備，故軋機(jī)成本高，而且維修也不方便； 為了克服諸多因素對(duì)板帶材厚度的影響，提高產(chǎn)品的厚度精度，已經(jīng)開(kāi)發(fā)了和發(fā)展了多種厚度控制系統(tǒng)[15～17]，如測(cè)厚儀反饋AGC、壓力AGC、流量AGC、監(jiān)控AGC和前饋AGC等。傳統(tǒng)AGC在控制精度方面各有其獨(dú)特的特點(diǎn)，在軋機(jī)上得到廣泛的應(yīng)用[18～20]。

⑴ 測(cè)厚儀反饋AGC

測(cè)厚儀反饋AGC系統(tǒng)是在帶鋼從軋機(jī)軋出后，通過(guò)軋機(jī)出口測(cè)厚儀測(cè)出實(shí)際軋出厚度值，并將其與給定厚度值比較，得出厚度偏差：

(1.1)

再通過(guò)厚度自動(dòng)控制裝置將變換為輥縫調(diào)節(jié)量的控制信號(hào)，輸出給壓下或推上機(jī)構(gòu)，以消除厚度偏差。用測(cè)厚儀信號(hào)進(jìn)行厚度反饋控制時(shí)，由于考慮到軋機(jī)機(jī)構(gòu)的限制、測(cè)厚儀的維護(hù)以及為了防止帶鋼斷裂而損壞測(cè)厚儀，測(cè)厚儀一般裝設(shè)在離直接產(chǎn)生厚度變化的輥縫有一定距離的地方，這就使檢測(cè)出的厚度變化量和輥縫控制量不在同一時(shí)間發(fā)生，所以實(shí)際軋出厚度的波動(dòng)不能得到及時(shí)反映。結(jié)果整個(gè)厚度控制系統(tǒng)的操作都有一定的時(shí)間滯后，用下式表示： 式中為滯后時(shí)間，為軋制速度，是軋輥中心線到測(cè)厚儀的距離。由于存在時(shí)間滯后，所以這種測(cè)厚儀反饋式厚度自動(dòng)控制系統(tǒng)很難進(jìn)行穩(wěn)定控制。因此目前普遍采用利用彈跳方程對(duì)變形區(qū)出口厚度進(jìn)行檢測(cè)，然后進(jìn)行反饋控制。這將大大減少滯后，但由于彈跳方程精度不高，雖然加上油膜厚度補(bǔ)償?shù)却胧┤圆荒鼙ＷC精度。這正是當(dāng)前推出流量AGC的原因。安裝了激光測(cè)速儀后可精確實(shí)測(cè)前滑，因而流量方程精度大為提高，用變形區(qū)入口及變形區(qū)出口流量相等法，根據(jù)入口測(cè)厚儀及機(jī)架前后激光測(cè)厚儀可準(zhǔn)確確定變形區(qū)出口處的實(shí)際厚度，因而提高反饋控制的精度。根據(jù)流量變形區(qū)入出口流量相等：

(1.3)

式中： 分為入出口帶鋼寬度； 分為入出口的速度， 分為入出口帶鋼的厚度。一般情況下，入出口寬度變化不大，因而有：

(1.4)

從而得到出口厚度：

(1.5)

⑵ 間接測(cè)厚反饋AGC

為了避免直接測(cè)厚儀產(chǎn)生的時(shí)間滯后，常采用壓力間接測(cè)厚反饋AGC系統(tǒng)。即借助于測(cè)量某一時(shí)刻的軋制壓力和空載輥縫，通過(guò)彈跳方程計(jì)算出此時(shí)刻的軋出厚度，亦即：

(1.6)

式中：為軋出厚度，為軋制壓力，為預(yù)壓靠值，為空載輥縫，為軋機(jī)剛度系數(shù)。利用此測(cè)得的厚差進(jìn)行厚度自動(dòng)控制就可以克服前述的傳遞時(shí)間滯后，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的反饋控制，提高產(chǎn)品厚度精度。然而，在計(jì)算帶鋼出口厚度的算式中，是在軋輥軸承處測(cè)出的輥縫值，軋輥偏心對(duì)實(shí)際輥縫的影響在此反映不出來(lái)，這就給控制系統(tǒng)帶來(lái)了誤差。假定在某一時(shí)刻，偏心對(duì)輥縫的實(shí)際影響為，那么此時(shí)的實(shí)際輥縫值為，實(shí)際造成的厚度厚度波動(dòng)值應(yīng)為(假設(shè)該時(shí)刻沒(méi)有其它因素使變化)

(1.7)

但由于此時(shí)輥縫仍為，所以由計(jì)算得出的厚度波動(dòng)為：

(1.8)

因和符號(hào)相反，顯然。這樣，就給以作為反饋量的間接測(cè)厚AGC系統(tǒng)引入了誤差，造成了間接測(cè)厚AGC系統(tǒng)調(diào)節(jié)質(zhì)量的降低甚至惡化。即當(dāng)有偏心存在時(shí)，實(shí)際板厚減少了，但由于這時(shí)軋制力增大，間接測(cè)厚AGC系統(tǒng)反而認(rèn)為板厚增加了，因此控制器就越朝著使板厚減少的方向動(dòng)作，結(jié)果使得比沒(méi)有壓力的AGC系統(tǒng)時(shí)的板厚精度更為低劣。

由此可見(jiàn)，間接測(cè)厚AGC系統(tǒng)克服了時(shí)間延遲，是一種實(shí)用、有效的厚度自動(dòng)控制系統(tǒng)。但是，如前所述，間接測(cè)厚AGC系統(tǒng)不但不能對(duì)偏心有所抑制，而且還會(huì)由于軋輥偏心的存在而導(dǎo)致其控制質(zhì)量的進(jìn)一步變差。當(dāng)產(chǎn)品精度要求較高或軋輥偏心較嚴(yán)重時(shí)，間接測(cè)厚AGC就不可能達(dá)到滿意的控制效果。所以，在配置有間接測(cè)厚AGC系統(tǒng)的軋機(jī)上，常常附加一些抑制偏心影響的措施，如設(shè)置死區(qū)、帶通濾波等。這些措施避免了軋輥偏心對(duì)間接測(cè)厚AGC系統(tǒng)的惡劣影響，卻不能消除軋輥偏心對(duì)軋出厚度所產(chǎn)生的直接不良影響。

⑶ 前饋AGC

考慮到來(lái)料厚差是冷軋帶鋼產(chǎn)生厚差的重要原因之一，因此冷連軋機(jī)一般在第一機(jī)架前設(shè)有測(cè)厚儀，可直接量測(cè)來(lái)料厚差用于前饋控制，機(jī)架間亦設(shè)有測(cè)厚儀用于下一機(jī)架的前饋控制。前饋AGC的原理是根據(jù)來(lái)料厚度波動(dòng)信號(hào)，再根據(jù)軋制速度作適當(dāng)延時(shí)，在波動(dòng)部分進(jìn)入機(jī)架的同時(shí)調(diào)節(jié)輥縫，以消除厚度偏差。輥縫調(diào)節(jié)量為：

(1.9)

式中：為軋件塑性系數(shù)。

⑷ 張力AGC

冷軋帶鋼，特別是后面的機(jī)架，帶鋼愈來(lái)愈硬，越來(lái)越薄，因此塑性變形越來(lái)越困難，亦即其值越來(lái)越大，因而使壓下效率越來(lái)越小。

(1.10)

式中：為壓下效率，當(dāng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于時(shí)，為了消除一個(gè)很小的厚差需移動(dòng)一個(gè)很大的。

采用液壓壓下后由于其動(dòng)作快使這一點(diǎn)得到補(bǔ)償，但對(duì)于較硬的鋼種，軋制較薄的產(chǎn)品時(shí)精調(diào)AGC還是借助于張力AGC。當(dāng)然張力AGC有一定的限制，當(dāng)張力過(guò)大時(shí)需移動(dòng)液壓壓下使張力回到極限范圍內(nèi)以免拉窄甚至拉斷帶鋼。

⑸ 監(jiān)控AGC

機(jī)架后測(cè)厚儀雖存在大滯后但其根本優(yōu)點(diǎn)是高精度測(cè)出成品厚度，因此一般作為監(jiān)控。監(jiān)控是通過(guò)對(duì)測(cè)厚儀信號(hào)的積分，以實(shí)測(cè)帶鋼厚度與設(shè)定值比較求得厚差總的趨勢(shì)(偏厚還是偏薄)。有正有負(fù)的偶然性厚差是通過(guò)積分(或累加)將相互抵消而得不到反映。如總的趨勢(shì)偏厚應(yīng)對(duì)機(jī)架液壓壓下給出一個(gè)監(jiān)控值，對(duì)其“系統(tǒng)厚差”進(jìn)行糾正，使帶鋼出口厚度平均值更接近設(shè)定值。為了克服大滯后，一般調(diào)整控制回路的增益以免系統(tǒng)不穩(wěn)定，或者放慢系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程時(shí)間使其遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于純滯后時(shí)間，為此在積分環(huán)節(jié)的增益中引入出口速度。其后果是控制效果減弱，厚度精度降低?？朔鬁蟮牧硪环N辦法是加大監(jiān)控控制周期，并使控制周期等于純滯后時(shí)間，亦即每次控制后，等到被控的該段帶鋼來(lái)到測(cè)厚儀下測(cè)出上一次控制效果后再對(duì)剩余厚差繼續(xù)監(jiān)控，以免控制過(guò)頭。這樣做的后果亦將減弱監(jiān)控的效果。為此，有些系統(tǒng)設(shè)計(jì)了“預(yù)測(cè)器”，通過(guò)模型預(yù)測(cè)出每一次監(jiān)控效果，繼續(xù)監(jiān)控時(shí)首先減去“預(yù)測(cè)”到的效果，使監(jiān)控系統(tǒng)控制周期可以加快，并且不必?fù)?dān)心控制過(guò)頭而減少控制增益。

即此偏心將使帶鋼出口厚度產(chǎn)生的波動(dòng)，這一嚴(yán)重影響是不容忽視的。不僅如此，如前所述，軋輥偏心還會(huì)對(duì)壓力AGC系統(tǒng)產(chǎn)生不良的影響，使其調(diào)節(jié)質(zhì)量惡化。所以，要想軋出高精度帶鋼，必須考慮補(bǔ)償軋輥偏心影響的措施。采用厚度外環(huán)和壓力內(nèi)環(huán)的目的亦是為了抑制偏心的影響。軋輥偏心將明顯反映在軋制壓力信號(hào)和測(cè)厚儀信號(hào)中。對(duì)軋制力來(lái)說(shuō)，實(shí)測(cè)的軋制力信號(hào)實(shí)際是由給定軋制力(其中包括來(lái)料厚度和來(lái)料硬度帶來(lái)的影響)和偏心信號(hào)綜合組成[1]，考慮到這兩部分信號(hào)在控制策略上是相反的，因此在未投入偏心補(bǔ)償時(shí)必須通過(guò)信號(hào)處理將軋制力信號(hào)分解成兩個(gè)部分。從軋制力信號(hào)提取出的偏心信息可以用下式表示：

(1.11)

式中：分是幅值、頻率和初相角。頻率與轉(zhuǎn)速有關(guān)，幅值決定偏心大小，而初相角則決定于信號(hào)的初始坐標(biāo)點(diǎn)，為此需在軋輥上設(shè)有單脈沖編碼器(多脈沖等于將軋輥轉(zhuǎn)角分成多個(gè)等分，并以其中一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)作為初始坐標(biāo)點(diǎn))。從正弦特性可知，只有兩個(gè)幅值相等但反相，頻率相等并且初始角相同的兩個(gè)信號(hào)相加才能完全互相抵消。否則，頻率不同的正弦信號(hào)無(wú)法相加；幅值不同則無(wú)法完全消除偏心影響；初始角對(duì)不準(zhǔn)則無(wú)法抵消，如果差還可能加劇而不是抵消。由于在實(shí)施控制時(shí)還要考慮液壓執(zhí)行機(jī)構(gòu)慣性問(wèn)題，采用這種兩個(gè)完全相反的正弦波抵消的辦法實(shí)施起來(lái)難度較大。

軋輥偏心控制技術(shù)的研究情況

軋輥偏心，一般可歸納為兩種類型，一種是由輥身和輥頸不同軸度誤差所引起的偏差，另一種是由輥身橢圓度(不圓度)引起的偏差，由于軋輥偏心的干擾，輥縫偏差一般可達(dá)0.025～0.05mm。軋輥轉(zhuǎn)一周，其干擾變化一次，故軋輥偏心的干擾發(fā)生高頻周期變化，從而造成成品帶鋼厚度的波動(dòng)。軋輥偏心，主要是指支撐輥偏心，因?yàn)楣ぷ鬏佒睆叫?，其偏心量只有幾個(gè)；而支撐輥直徑一般為1500mm左右，軋輥磨床加工精度能保證軋輥橢圓度約為，上下輥疊加。隨著用戶對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量要求日益嚴(yán)格，這種軋輥偏心的干擾越來(lái)越不能忽視。為了有效抑制偏心干擾，對(duì)系統(tǒng)各個(gè)部分的快速性和準(zhǔn)確性都要求很高，任何部分的誤差和時(shí)滯都會(huì)影響補(bǔ)償效果，甚至可能使偏心的不良影響加劇。計(jì)算機(jī)在工業(yè)過(guò)程控制中的普遍應(yīng)用和液壓壓下(推上)裝置在軋機(jī)上的應(yīng)用為解決這個(gè)問(wèn)題提供了硬件上的可能性。由于電動(dòng)機(jī)壓下裝置慣性大，傳輸效率低(一般)，對(duì)周期性高頻變化無(wú)能為力，一般只能在控制系統(tǒng)中設(shè)置“死區(qū)”，以避免壓下螺絲周期性頻繁動(dòng)作。而液壓壓下系統(tǒng)慣性小，壓下速度和加速度都顯著提高(一般，同時(shí)具有設(shè)備重量輕、有過(guò)負(fù)荷保護(hù)能力等優(yōu)點(diǎn)。對(duì)于消除由軋輥偏心所造成的這種高頻變化的周期波動(dòng)，必須采用這種液壓壓下(推上)系統(tǒng)。 第一類解決辦法按其信號(hào)檢測(cè)和模型辨識(shí)的在線和離線方式，可分為開(kāi)環(huán)控制和閉環(huán)控制。按其信號(hào)處理手段可分為簡(jiǎn)單處理法、各種濾波器法和傅立葉級(jí)數(shù)法。早期的簡(jiǎn)單處理方法包括用千分尺直接測(cè)定支持輥的移動(dòng)或間接測(cè)定軋輥軸承座的移動(dòng)，并根據(jù)這個(gè)測(cè)定值調(diào)整安裝在軋輥上的自整角機(jī)輸出的正弦波的相位和振幅，按照與支撐輥移動(dòng)相反的方向?qū)嵤┭a(bǔ)償。濾波器方法是一種常用的偏心信號(hào)檢測(cè)方法。各種濾波器方法都程度不同地存在些問(wèn)題，不可避免地混進(jìn)偏心以外的頻率成分，而又毫無(wú)辦法地漏掉了偏心信號(hào)中的諧波分量。除了濾波器以外，還有解決偏心控制問(wèn)題的傅立葉分析法。這一方法一般來(lái)說(shuō)要比濾波器方法的信號(hào)處理精度高，補(bǔ)償效果顯著。北京科技大學(xué)孫一康教授和他的博士研究生劉淑貞在20世紀(jì)90年代初以上海第三冷軋帶鋼廠的高精度四輥可逆冷軋機(jī)為試驗(yàn)背景，配以必要的測(cè)量?jī)x表和計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，并利用快速傅立葉變換的偏心控制方案，利用相干時(shí)間平均方法的偏心控制方案和復(fù)合建模偏心控制方案進(jìn)行大量的現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)，取得了滿意的實(shí)驗(yàn)效果[35～37]。

澳大利亞的E.K.Tech等提出的用于冷軋機(jī)的改進(jìn)的帶鋼厚度控制器和我國(guó)原冶金部自動(dòng)化院陳振宇教授等提出的冷軋機(jī)軋輥偏心自校正調(diào)節(jié)器則應(yīng)屬于第二類。在消除軋輥偏心影響的同時(shí)，也抑制了其它干擾因素對(duì)帶鋼厚度均勻性的影響。Tech方案是根據(jù)軋制原理，建立一套包括支持軋輥偏心效應(yīng)、軋機(jī)部件的塑性變形過(guò)程和彈性變形形變?cè)趦?nèi)的控制設(shè)計(jì)模型并估計(jì)偏心信號(hào)周期。反饋控制器對(duì)軋制力、滯回、與軋機(jī)有關(guān)參數(shù)和軋制力調(diào)整機(jī)構(gòu)的非線形響應(yīng)進(jìn)行補(bǔ)償。此方法在把偏心分量從厚度計(jì)法厚度誤差估計(jì)中分離出來(lái)，通過(guò)前饋方法補(bǔ)償偏心干擾效應(yīng)的同時(shí)，也實(shí)現(xiàn)了準(zhǔn)確的厚度估計(jì)，通過(guò)反饋回路完成了綜合厚度控制。這一方法在澳大利亞公司的冷軋機(jī)的初步現(xiàn)場(chǎng)實(shí)現(xiàn)表明，它可使軋輥偏心對(duì)軋制力和帶鋼出口厚度的影響減少30％，使總的厚度精度提高40％。但此方法要求對(duì)軋機(jī)系統(tǒng)各部分的機(jī)理和參數(shù)都了解得很清楚，而且對(duì)測(cè)厚儀的安裝位置等也有限制，這對(duì)有些軋機(jī)而言是難以實(shí)現(xiàn)的。

國(guó)外對(duì)偏心診斷、智能和最優(yōu)控制的研究較深入和富有成果，主要有：Kugi等提出基于穩(wěn)定傳遞函數(shù)的因數(shù)分解逼近和最小均方算法；Aistleitner K等提出采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行偏心辨識(shí)的方法；Garcia等提出了采用多處理器實(shí)時(shí)偏心診斷方法和實(shí)時(shí)模糊偏心診斷方法；Fechner等提出了神經(jīng)偏心濾波器，該濾波器用于在線偏心控制時(shí)對(duì)于變化的偏心周期具有較好的適應(yīng)性，該方法還用到了遞歸最小二乘學(xué)習(xí)算法；Choi 等提出了偏心最優(yōu)控制方法等。

除此之外，歐美日各大公司的工程專家也提出了多種軋輥偏心的補(bǔ)償方法，這些方法又可以分為下面三類：

⑴ 被動(dòng)軋輥偏心控制方法。這類方法不是試圖補(bǔ)償軋輥偏心對(duì)軋件厚度的影響，其主要目的是使輥縫控制系統(tǒng)對(duì)軋輥偏心引起的厚度干擾影響不敏感，而不需要輥縫按照輥縫偏心函數(shù)進(jìn)行校正，這就排除了厚度變化增大的可能；

⑵ 主動(dòng)軋輥偏心補(bǔ)償法。這類方法一般包括軋輥偏心分量檢測(cè)和隨后得出的補(bǔ)償信號(hào)送到輥縫調(diào)節(jié)器中以補(bǔ)償軋輥偏心，軋輥偏心分量是從反映主要軋制參數(shù)(如軋制力、輥縫、軋件出口厚度以及帶鋼張力等)的信號(hào)中測(cè)得的，根據(jù)檢測(cè)信號(hào)的不同處理方法，這類方法可分為下面兩種：

① 分析法 軋輥偏心分量是通過(guò)應(yīng)用數(shù)學(xué)分析法(例如傅立葉分析法)從檢測(cè)信號(hào)中提取出來(lái)；

② 綜合法 軋輥偏心分量是通過(guò)復(fù)制軋輥偏心分量得到，信號(hào)復(fù)制可采用機(jī)械法和電量法；

⑶ 預(yù)防軋輥偏心控制法。這類方法是在軋制前創(chuàng)造一些條件以便能減小偏心對(duì)厚度的影響，而在軋制中不采用任何校正措施。

國(guó)外公司典型的偏心補(bǔ)償方法有：

⑴ 死區(qū)法 死區(qū)法是一種被動(dòng)偏心控制法，此法通?？上刂菩盘?hào)中的周期分量；

⑵ 軋制力法 軋制力法是一種主動(dòng)式軋輥偏心方法，把出口厚度的誤差信號(hào)轉(zhuǎn)換成附加軋制力基準(zhǔn)信號(hào)；

⑶ 輥縫厚度控制法 輥縫厚度控制法是利用安裝在軋機(jī)工作輥之間的傳感器測(cè)出軋制過(guò)程中的輥縫偏差，由德國(guó)Krupp提出的輥縫控制(IGC)系統(tǒng)就由輥縫傳感器組成的，它們被裝在機(jī)架每側(cè)的工作輥輥頸之間，這樣，它們不會(huì)受到帶鋼的損壞；

⑷ 前饋控制法 已經(jīng)在軋機(jī)輥縫控制中得到廣泛的應(yīng)用，它包括以下三個(gè)步驟：

① 在上游機(jī)架的前幾機(jī)架的軋制道次中，分段測(cè)出帶鋼厚度波動(dòng)；

② 當(dāng)帶鋼每一段即將進(jìn)入末尾即機(jī)架軋制輥縫中時(shí)，確定所需的厚度修正量；

③ 在末尾幾機(jī)架中對(duì)帶鋼每一段實(shí)施厚度修正。應(yīng)用這種方法能夠補(bǔ)償包括軋輥偏心在內(nèi)的各種因素在內(nèi)的厚度偏差。一般在中間使用張力控制系統(tǒng)主要有兩種。第一種是通過(guò)調(diào)節(jié)上游機(jī)架的速度進(jìn)行帶鋼張力控制，第二是調(diào)節(jié)下游機(jī)架的輥縫進(jìn)行帶鋼張力控制。成功采用前饋控制系統(tǒng)控制軋輥偏心的關(guān)鍵在于軋機(jī)電機(jī)能否使速度調(diào)節(jié)器獲得適當(dāng)?shù)乃俣软憫?yīng)特性；

⑸ Newmann法 這種方法是由德國(guó)穆勒－紐曼公司的Newmann等人提出的，它是利用隨支承輥同時(shí)旋轉(zhuǎn)的凸輪來(lái)模擬軋輥偏心，位移傳感器測(cè)出凸輪偏心，然后發(fā)出電子信號(hào)，傳送給輥縫調(diào)節(jié)器。這種方法雖然簡(jiǎn)單，但沒(méi)有得到廣泛應(yīng)用。原因是：

① 在機(jī)架中安裝支承輥之前，顯然要仔細(xì)測(cè)定每一個(gè)支承輥偏心幅度和相移；

② 在軋輥偏心測(cè)定結(jié)束后，每個(gè)凸輪和支承輥偏心相移必須一致。由于支承輥偏心明顯非正弦變化，所以要把它和凸輪正弦變化對(duì)應(yīng)起來(lái)相當(dāng)困難；

③ 支承輥與凸輪外形的不協(xié)調(diào)性也是造成軋輥偏心不能得到補(bǔ)償重要原因；

④ 不能補(bǔ)償工作輥橢圓度造成的輥縫變化；

⑹ Alsop法 以測(cè)厚儀原理為基礎(chǔ)進(jìn)行輥縫控制。假設(shè)帶鋼厚度發(fā)生波動(dòng)，使軋制載荷產(chǎn)生低頻波動(dòng)，而軋輥偏心使載荷產(chǎn)生相當(dāng)高的頻率波動(dòng)，載荷信號(hào)的低頻分量在任何通道都不會(huì)衰減，它將產(chǎn)生正反饋，正反饋大小為： 式中：為軋機(jī)縱向剛度，另一方面載荷信號(hào)的高頻分量?jī)H能通過(guò)一個(gè)通道，就這部分來(lái)說(shuō)，載荷回路中產(chǎn)生負(fù)反饋信號(hào)，增益大小為，這樣回路會(huì)產(chǎn)生信號(hào)，它被送到輥縫調(diào)節(jié)器以補(bǔ)償軋輥偏心；

⑺ Smith 法 英國(guó)戴維聯(lián)合儀器公司的Smith提出以測(cè)厚儀原理為基礎(chǔ)的輥縫控制系統(tǒng)中軋輥偏心補(bǔ)償法，它的缺點(diǎn)是使用了金屬構(gòu)件類型的整流器，它會(huì)產(chǎn)生于控制信號(hào)的波幅差不多的噪聲信號(hào)；

⑻ Howard法 英國(guó)戴維聯(lián)合工程公司的Howard提出利用在軋制過(guò)程中兩個(gè)所測(cè)定的參數(shù)來(lái)測(cè)定軋輥偏心，第一個(gè)參數(shù)是安裝在軋機(jī)每側(cè)的載荷傳感器測(cè)出軋制力的波動(dòng)量，第二個(gè)參數(shù)為即將進(jìn)入軋機(jī)的軋件厚度波動(dòng)量；

⑼ Shiozaki(鹽崎)、Takahashi(高橋)法 也稱為軋輥偏心傅立葉分析法(FARE)，它是日本的石川島播磨公司(IHI)Shiozaki、Takahashi提出的，該方法應(yīng)用了軋輥偏心量ec和軋制力變化量之間的關(guān)系：

(1.13)

式中：Q為軋件塑性系數(shù)，為軋機(jī)縱向剛度。因?yàn)檐堓伈▌?dòng)量與支承輥旋轉(zhuǎn)一周周期一致，于是可得：

(1.14)

式中：A為偏心量幅值，為支承輥角位置與軋輥零偏心位置之間的相位角。由于軋制力波動(dòng)包含有許多不同頻率的分量，對(duì)于一級(jí)諧波來(lái)說(shuō)，根據(jù)簡(jiǎn)單傅立葉級(jí)數(shù)，其變化量表達(dá)式為：

(1.15)

式中：B、C為常數(shù)。在支承輥旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間內(nèi)，通過(guò)測(cè)量軋制力的變化量就可以獲得A、B、C和，按照預(yù)設(shè)定的時(shí)間間隔對(duì)測(cè)定的軋制力進(jìn)行采樣，其中T是支承輥旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間，為旋轉(zhuǎn)一周的采樣個(gè)數(shù)?？傻茫?/p>

，，， (1.16)

通過(guò)FARE法測(cè)出偏心信號(hào)通過(guò)壓力控制回路可以調(diào)節(jié)輥縫，以便減小或增大偏心補(bǔ)償載荷，偏心補(bǔ)償載荷信號(hào)將持續(xù)累積到軋輥偏心載荷分量在軋制載荷信號(hào)中完全消失為止。然后，當(dāng)再也測(cè)不出偏心載荷分量時(shí)，F(xiàn)ARE輸出信號(hào)就被存儲(chǔ)在存貯器中。隨著軋制持續(xù)運(yùn)行，F(xiàn)ARE信號(hào)不斷存儲(chǔ)于存儲(chǔ)器中，并且持續(xù)計(jì)算；

⑽ Cook法 西屋電氣公司的Cook提出的方法是建立在假設(shè)軋輥偏心所起的軋制力變化為正弦變化，變化周期等于支承輥旋轉(zhuǎn)周期基礎(chǔ)上。假設(shè)，軋制力為

(1.17)

式中：為支承輥旋轉(zhuǎn)一周對(duì)應(yīng)的平均軋制力，為軋制力變化的振幅，為支承輥選定零位與平均軋制力對(duì)應(yīng)的支承輥位置之間的夾角，為軋輥角位置。于是得到：

(1.18)

式中：分為上下支承輥對(duì)應(yīng)的補(bǔ)償信號(hào)波幅：

， (1.19)

式中：為軋機(jī)縱向剛度。

⑾ Fox法 Cook法的應(yīng)用局限于雙驅(qū)動(dòng)布置的電機(jī)，而檢測(cè)軋輥偏心需花費(fèi)大量的時(shí)間，西屋電氣公司的Fox利用上下支承輥之間的差異產(chǎn)生的搖擺現(xiàn)象控制偏心。根據(jù)Fox法，在壓靠時(shí)將軋輥轉(zhuǎn)動(dòng)但不咬入軋件時(shí)測(cè)定軋制力，假定軋輥偏心變化量呈正弦變化，此時(shí)在一個(gè)偏擺周期內(nèi)，兩軋輥軋制力信號(hào)分別等于： 式中：分為上下支承輥角位置，分為偏心引起的軋制力波動(dòng)幅度。

⑿ Ichiryu等人的方法 日本日立公司的Ichiryu等人提出提出連續(xù)測(cè)定入口帶鋼厚度和軋制力，然后使用這些測(cè)量值獲得出口厚度，根據(jù)相關(guān)函數(shù)，利用統(tǒng)計(jì)方法就可以測(cè)出軋輥偏心造成的干擾量，然后從控制系統(tǒng)中消除；

⒀ Hayama(葉山)方法 該方法已應(yīng)用在三菱重工研制的自動(dòng)軋輥偏心控制系統(tǒng)中，這種方法的原理是使用在線和離線方法檢測(cè)軋輥偏心，然后加權(quán)求和。離線法是在壓靠條件下利用搖擺現(xiàn)象測(cè)定軋輥偏心，在線法是在軋制條件下，通過(guò)使一個(gè)支承輥相連的脈沖發(fā)生器信號(hào)和所測(cè)的軋制力信號(hào)聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)行軋輥偏心檢測(cè)；

⒁ Yamagui(山口)法 日本日立和新日鐵公司的山口提出的軋輥偏心方法是通過(guò)出口厚度偏差采樣測(cè)得的從頭前轉(zhuǎn)期間的數(shù)據(jù)計(jì)算出軋輥偏心補(bǔ)償信號(hào)；

⒂ Weihrich和Wohld法 德國(guó)西門(mén)子公司的Weihrich和Wohld提出的軋輥偏心的方法是基于測(cè)厚儀原理，通過(guò)求和放大器用輥縫的輸出信號(hào)和載荷傳感器輸出信號(hào)來(lái)計(jì)算板帶出口厚度，而求和放大器的輸出信號(hào)也包含有軋輥偏心成分。利用輥縫值和成正比的信號(hào)就可以通過(guò)信號(hào)混合器產(chǎn)生軋輥偏心總的信號(hào)，同時(shí)也改變?nèi)肟谔幇鍘Ш穸茸兓煞趾腿肟谔幇鍘Х€(wěn)定成分，利用高通濾波器，從混合器輸出信號(hào)中去掉穩(wěn)定成分；

⒃ Gerber法 伯里斯(bliss)公司的Gerber開(kāi)發(fā)了一套自適應(yīng)數(shù)字化偏心補(bǔ)償(ADEC)系統(tǒng)，該系統(tǒng)利用了聲學(xué)技術(shù)的最新成果，即具有復(fù)制信號(hào)中的任意選定交變成分的技術(shù)；

⒄ Ooi(大井)法 日本住友公司的Ooi利用支承輥平衡液壓缸的這些機(jī)構(gòu)來(lái)控制偏心。這種方法是使帶有電動(dòng)壓下結(jié)構(gòu)的軋機(jī)無(wú)須進(jìn)行任何顯著的的改進(jìn)就可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)高精度的快速效應(yīng)。支承輥偏心通過(guò)傅立葉分析就可以確定出上下輥操作及驅(qū)動(dòng)側(cè)位置相關(guān)的軋輥偏心成分；

⒅ Ginzburg法 國(guó)際軋鋼咨詢公司及聯(lián)合工程公司的Ginzburg提出兩種軋輥偏心補(bǔ)償方法，第一種方法是利用差拍現(xiàn)象，尤其是利用上下支承輥向同一方向發(fā)生偏心時(shí)軋輥偏心最小的事實(shí)；第二種方法是在軋制過(guò)程中對(duì)軋輥偏心進(jìn)行連續(xù)補(bǔ)償。

總之，隨著對(duì)該高質(zhì)量板帶材需求的日益提高，軋輥偏心控制問(wèn)題得到各國(guó)軋鋼控制界的普遍重視，各種檢測(cè)和控制方法相繼出現(xiàn)。國(guó)外大公司一般在這個(gè)領(lǐng)域獲得專利，我國(guó)在這個(gè)領(lǐng)域尚有差距，需要促進(jìn)對(duì)軋輥偏心控制技術(shù)問(wèn)題的理論分析和研究，不斷使其走向深入和完善。

重復(fù)控制理論研究現(xiàn)狀 針對(duì)周期信號(hào)發(fā)生器正反饋帶來(lái)的非平凡問(wèn)題在如何保證系統(tǒng)穩(wěn)定問(wèn)題，Hara等證明，如果對(duì)象是正則的且不是嚴(yán)格正則的，系統(tǒng)就能保證穩(wěn)定[48]。為了克服這種重復(fù)控制系統(tǒng)不易穩(wěn)定的局限性，Hara等1988年提出在重復(fù)控制環(huán)節(jié)中引用低通濾波器來(lái)濾掉高頻部分，以高頻部分犧牲一些特性來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的魯棒性。因此低通濾波器的選擇對(duì)于重復(fù)控制非常重要，它的引入一方面有利于系統(tǒng)穩(wěn)定，另一方面，卻帶來(lái)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，它反映了閉環(huán)系統(tǒng)特性和系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性間一種折中考慮。1985年和1988年Hara等提出了基于狀態(tài)空間的設(shè)計(jì)方法。近來(lái)，魯棒優(yōu)化控制和結(jié)構(gòu)奇異值方法也用來(lái)設(shè)計(jì)和分析重復(fù)控制[49,50]。Peery 和 Ozbay(1993)利用無(wú)窮維優(yōu)化控制原理提出了一種2步法設(shè)計(jì)優(yōu)化重復(fù)控制器。他們同時(shí)提出通過(guò)優(yōu)化重復(fù)控制器的濾波器進(jìn)一步改善系統(tǒng)主要特性的方法。Guvcac(1996)對(duì)于連續(xù)時(shí)間的重復(fù)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)奇異值提出魯棒穩(wěn)定和動(dòng)態(tài)特性分析方法，即分別用－1和1代替系統(tǒng)內(nèi)模的延遲部分估計(jì)結(jié)構(gòu)奇異值的下確界和上確界，這樣就把原來(lái)的無(wú)窮維問(wèn)題化作有窮維問(wèn)題?？梢岳眠@種結(jié)構(gòu)估計(jì)連續(xù)時(shí)間重復(fù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒特性。但是，得出結(jié)構(gòu)奇異值的下確界比用1代替時(shí)小，上確界又比用－1代替時(shí)大。直到延遲足夠大這種估計(jì)才能得到滿意的結(jié)果。另外，這種估計(jì)還需滿足相位要求，因此這種結(jié)構(gòu)不能用來(lái)綜合。

重復(fù)控制器不斷被改進(jìn)，且被數(shù)字化[51～54]。為了減小控制器離散化造成的誤差，很多研究者關(guān)注于用離散化方法直接設(shè)計(jì)重復(fù)控制器。Tomizuka等提出一種針對(duì)穩(wěn)定開(kāi)環(huán)對(duì)象的零相位偏差跟蹤的重復(fù)控制器(Zero Phase Error Tracking Controller)，這種方法特點(diǎn)是濾波器的結(jié)構(gòu)和對(duì)象同階并滿足時(shí)延。基于相同的補(bǔ)償器結(jié)構(gòu)，Tsao和Tomizuka(1988，1994)進(jìn)一步獲得使系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的內(nèi)模零相位低通濾波器的方法，給出了和非模型動(dòng)態(tài)的關(guān)系，確定了魯棒穩(wěn)定的充分條件。這種方法可以用于最小相位和非最小相位系統(tǒng)。Alter 和Tsao推導(dǎo)出基于二維模型匹配算法的重復(fù)控制算法，并它應(yīng)用到線性馬達(dá)的控制過(guò)程。Kim和Tsao(1997)綜合前饋、重復(fù)和反饋控制方法，實(shí)現(xiàn)電液執(zhí)行器的魯棒特性控制。Tsao 等把重復(fù)控制利用到凸輪機(jī)械的非圓旋轉(zhuǎn)。在極點(diǎn)配置方法中，Ledwich 和Bolton提出了LQ(Linear Quadratic)設(shè)計(jì)方法。Hillerstrom和Sternby(1994)提出了基于標(biāo)準(zhǔn)Bezout辨識(shí)的極點(diǎn)配置方法。Bamich 和 Pearson(1991)提出了采樣數(shù)據(jù)提升技術(shù)(lifting technology)并將其用于設(shè)計(jì)最優(yōu)采樣數(shù)據(jù)重復(fù)控制系統(tǒng)。Langari 和Francis(1996)提出基于結(jié)構(gòu)奇異值的采樣數(shù)據(jù)魯棒控制系統(tǒng)的魯棒分析方法。

Srinivasan和Shaw提出了頻域設(shè)計(jì)方法[55,56]，并提出了被稱作重構(gòu)譜的頻率函數(shù)[57,58]，利用它來(lái)判定重復(fù)控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。如果在沒(méi)有重復(fù)控制環(huán)節(jié)時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則對(duì)于頻率，是系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。設(shè)計(jì)重復(fù)控制的離散時(shí)間重構(gòu)譜的改進(jìn)方法由Srinivasan和Shaw于1993年提出。基于諧波頻率處對(duì)象頻率響應(yīng)的系統(tǒng)穩(wěn)定改進(jìn)方法在1995年由Sadegh提出。 Hanson(1996年)提出一種序貫重復(fù)控制系統(tǒng)。首先利用最優(yōu)控制設(shè)計(jì)能增加閉環(huán)動(dòng)態(tài)硬度的內(nèi)環(huán)控制器，然后基于零相位偏差跟蹤控制設(shè)計(jì)外環(huán)重復(fù)控制器以保證跟蹤或抑制周期輸入。由于這是兩步設(shè)計(jì)(兩個(gè)控制器分別設(shè)計(jì))，所設(shè)計(jì)的控制器階次必然高。內(nèi)環(huán)最優(yōu)控制器的特性將在最大峰值2處被外環(huán)重復(fù)器降低。Guo提出利用替代基于重復(fù)控制零相位跟蹤控制中的。選擇和做為靈敏度函數(shù)進(jìn)行頻率調(diào)整，以抑制磁盤(pán)驅(qū)動(dòng)伺服控制的二次諧波干擾的抑制。眾所周知，基于重復(fù)控制的零相位偏差跟蹤控制需要是低通濾波器，且頻帶盡可能寬。因?yàn)榈倪x擇必須兼顧重復(fù)控制特性和穩(wěn)定魯棒性，因此靈敏度函數(shù)的頻率調(diào)整受這種因素限制。Li和Tsao成功應(yīng)用魯棒重復(fù)控制于磁盤(pán)伺服控制。

本文的主要工作及各部分內(nèi)容安排

主要研究?jī)?nèi)容

由于重復(fù)控制對(duì)周期性信號(hào)具有很好的自學(xué)習(xí)能力，因此對(duì)周期性擾動(dòng)具有很好的抑制作用。重復(fù)控制只需知道擾動(dòng)信號(hào)的周期，對(duì)信號(hào)的初始狀態(tài)，如初相角和幅值等沒(méi)有要求，這樣大大簡(jiǎn)化信號(hào)的檢測(cè)，同時(shí)降低了控制難度。重復(fù)控制的難點(diǎn)在于對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性要求較高。國(guó)內(nèi)外將重復(fù)控制應(yīng)用于軋輥偏心控制的文獻(xiàn)不多。圍繞研究帶鋼高精度厚度控制的目的，本文以獲得厚度精度控制為目標(biāo)，重點(diǎn)研究厚度控制過(guò)程中應(yīng)用重復(fù)控制抑制軋輥偏心擾動(dòng)。本文主要做兩方面的工作。首先針對(duì)厚度控制過(guò)程中軋輥偏心補(bǔ)償問(wèn)題的特點(diǎn)，將先進(jìn)的的重復(fù)控制理論和自動(dòng)控制理論有機(jī)結(jié)合應(yīng)用到這個(gè)問(wèn)題中來(lái)，提出控制方案；其次從穩(wěn)態(tài)精度、穩(wěn)定性和魯棒性三個(gè)方面進(jìn)行理論分析，對(duì)控制方案進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真研究。

⑴ 首先提出了單軋輥偏心擾動(dòng)重復(fù)控制抑制的單輸入單輸出(SISO)厚度控制系統(tǒng)頻域設(shè)計(jì)方案，方案中為了彌補(bǔ)重復(fù)控制延遲環(huán)節(jié)前引入濾波器帶來(lái)的控制精度問(wèn)題，提出一種補(bǔ)償器，給出了補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)方法。厚度控制采用測(cè)厚儀測(cè)厚的反饋AGC控制方案，用Smith預(yù)估器補(bǔ)償被控對(duì)象滯后，補(bǔ)償后的廣義對(duì)象采用常規(guī)PID控制。同時(shí)還給出了一種將魯棒PID控制器和重復(fù)控制設(shè)計(jì)結(jié)合在一起的混合設(shè)計(jì)方法。其次提出了多軋輥偏心擾動(dòng)重復(fù)控制補(bǔ)償?shù)腟ISO厚度控制系統(tǒng)頻域設(shè)計(jì)方案。對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、魯棒性和系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)進(jìn)行了分析，同時(shí)對(duì)控制方案進(jìn)行了仿真研究；

⑵ 針對(duì)多輸入多輸出厚度、張力控制系統(tǒng)，首先提出了單軋輥偏心重復(fù)控制頻域設(shè)計(jì)方案，然后擴(kuò)展到多軋輥偏心控制系統(tǒng)。采用逆奈奎斯特方法對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行解耦。對(duì)控制方案進(jìn)行了理論分析和仿真研究，證明重復(fù)控制抑制單周期和多周期偏心擾動(dòng)的有效性；

⑶ 針對(duì)重復(fù)控制對(duì)偏心擾動(dòng)的基波及其諧波抑制效果較好，而對(duì)基波和諧波附近頻率信號(hào)擾動(dòng)的抑制較差，同時(shí)軋制過(guò)程中因各種原因造成軋輥偏心信號(hào)的周期可能波動(dòng)或者偏心擾動(dòng)信號(hào)不能準(zhǔn)確測(cè)量或辨識(shí)情況，提出了一種魯棒重復(fù)控制結(jié)構(gòu)，從理論上證明了這種魯棒重復(fù)控制較常規(guī)重復(fù)控制性能優(yōu)越，對(duì)擾動(dòng)信號(hào)的周期波動(dòng)不敏感，具有很強(qiáng)的魯棒性。將這種結(jié)構(gòu)用于厚度控制系統(tǒng)，仿真結(jié)果證明了這種結(jié)構(gòu)對(duì)周期不確定軋輥偏心信號(hào)具有很強(qiáng)的抑制能力。

⑷ 因工程中普遍采用數(shù)字化設(shè)計(jì)，分別提出了單軋輥偏心、雙軋輥偏心及多軋輥偏心魯棒數(shù)字重復(fù)控制器設(shè)計(jì)方案.這種設(shè)計(jì)能有效地降低補(bǔ)償器階次。厚度控制采用流量AGC和反饋AGC結(jié)合的控制結(jié)構(gòu)，避開(kāi)因測(cè)厚儀測(cè)厚滯后造成的系統(tǒng)不易穩(wěn)定的弊端。所有方案都進(jìn)行了理論分析，同時(shí)對(duì)所提出的硬度前饋和厚度反饋的控制結(jié)構(gòu)在偏心擾動(dòng)和硬度擾動(dòng)下進(jìn)行了仿真，結(jié)果證明這些方案的有效性。

各部分內(nèi)容安排

全文共分7個(gè)部分，每部分的具體內(nèi)容安排如下：

第一章首先闡述了冷軋板帶厚度控制方法和研究現(xiàn)狀，指出了抑制軋輥偏心擾動(dòng)在高精度厚度控制過(guò)程中的重要性；其次，綜述了國(guó)內(nèi)外軋輥偏心的研究成果及現(xiàn)狀。

接著全面介紹了重復(fù)控制概念的基本內(nèi)涵、應(yīng)用的對(duì)象和重復(fù)控制理論的研究成果；最后給出了本文的主要研究?jī)?nèi)容。

第二章首先全面而系統(tǒng)的歸納了軋輥偏心的的特點(diǎn)和性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，給出了獲取偏心信號(hào)的改進(jìn)傅立葉方法；其次給出了幾種厚度控制模型，提出了硬度波動(dòng)前饋控制模型。

第三章首先給出了單軋輥偏心擾動(dòng)重復(fù)控制抑制的單輸入單輸出(SISO)厚度控制系統(tǒng)頻域設(shè)計(jì)方案；其次提出了多軋輥偏心擾動(dòng)重復(fù)控制補(bǔ)償?shù)腟ISO厚度控制系統(tǒng)頻域設(shè)計(jì)方案。對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、魯棒性和系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)進(jìn)行了分析，同時(shí)對(duì)控制方案進(jìn)行了仿真研究。

第四章針對(duì)多輸入多輸出厚度、張力控制系統(tǒng)，首先提出了單軋輥偏心重復(fù)控制頻域設(shè)計(jì)方案，然后擴(kuò)展到多軋輥偏心控制系統(tǒng)。對(duì)控制方案進(jìn)行了理論分析和仿真研究。

第五章針對(duì)周期不確定軋輥偏心信號(hào)，提出了一種魯棒重復(fù)控制結(jié)構(gòu)，從理論上證明了這種魯棒重復(fù)控制較常規(guī)重復(fù)控制性能優(yōu)越，并對(duì)其抑制周期不確定軋輥偏心信號(hào)進(jìn)行了仿真。

第六章分別提出了單軋輥偏心、雙軋輥偏心及多軋輥偏心魯棒數(shù)字重復(fù)控制器設(shè)計(jì)方案，給出降低補(bǔ)償器階次的方法。對(duì)所有方案都進(jìn)行了理論分析和計(jì)算機(jī)仿真。

第七章對(duì)全文工作進(jìn)行了總結(jié)，提出了下一步工作設(shè)想。

軋輥偏心問(wèn)題的理論分析和冷軋板板帶厚度控制模型

軋輥偏心問(wèn)題的理論分析

廣義上說(shuō)，軋輥和軋輥軸承形狀的不規(guī)則引起輥縫周期性變化稱為軋輥偏心。軋輥偏心會(huì)導(dǎo)致軋件厚度周期變化，軋輥的偏心可以歸納為兩種基本類型。一種是由輥身和輥徑的不同軸度引起的偏差所引起的；另一種是由軋輥本身所具有的橢圓度所產(chǎn)生的。而實(shí)際情況可能是兩者共同作用的結(jié)果。

輥身和輥徑不同軸的情況

圖2.1 輥身和輥徑不同軸的情況

如圖2.1所示，為輥徑的軸心，為輥身的軸心，為輥身的半徑，X為與之間的距離。偏心運(yùn)動(dòng)軌跡相當(dāng)于輥身表面可移動(dòng)點(diǎn)A繞輥徑軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，即偏心波形為的軌跡。設(shè)支承輥轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，，在三角形中， 由余弦定理可知：

(2.1)

設(shè)t=0時(shí)，＝0，=，。由正弦定理得：

(2.2)

從而有：

(2.3)

因而有軋輥偏心運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為：

(2.4)

根據(jù)以上參數(shù)方程，得軋輥偏心波形如圖2.2所示。

圖2.2 軋輥偏心波形

圖2.3 輥身為橢圓時(shí)的示意圖

軋輥具有橢圓度的情況

如圖2.3 所示，o是軋輥的軸心，是理想輥身的半徑，a 和b 分別是實(shí)際橢圓截面的長(zhǎng)軸和短軸。實(shí)際情況可能不是橢圓。偏心波形為橢圓周上可移動(dòng)點(diǎn)A與理想圓周的徑向距離的軌跡，r為A到軋輥軸心線的距離。設(shè)輥身轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，t=0時(shí)，，則有:

(2.5)

又由橢圓方程 得 ：

即

從而

因此有

(2.6)

因而得到軋輥偏心曲線方程為

(2.7)

得到的偏心波形類似于圖2.2。

如果兩個(gè)輥的角速度相同，那么合成的偏心信號(hào)仍然是同頻率的周波。這是因?yàn)橹芷谛盘?hào)可以分解為一系列的正弦波之和。而兩個(gè)同頻率的正弦波之和仍是正弦波。設(shè)和為兩個(gè)角頻率為的正弦波，其中

(2.8)

則合成的波形為

(2.9)

式中：

(2.10)

(2.11)

合成波形的振幅發(fā)生變化，相位發(fā)生偏移，頻率保持不變。軋輥偏心波形一般不是純粹的正弦曲線，而是包括多次諧波的復(fù)雜的周期波。它有以下特點(diǎn)：⑴ 周期性 軋輥每轉(zhuǎn)動(dòng)一周，偏心信號(hào)重復(fù)出現(xiàn)一次；⑵ 頻率和幅值不是固定不變的。當(dāng)軋制速度變化時(shí)，其頻率也隨之成比例變化。在軋制過(guò)程中，由于軋輥的熱膨脹和磨損，偏心信號(hào)的幅值也會(huì)發(fā)生緩慢變化；⑶ 偏心信號(hào)不僅含有多次諧波，而且還含有各種各樣的隨機(jī)干擾。

偏心信號(hào)的采集和處理

軋輥偏心對(duì)厚度的影響可以用出口厚度變化的頻譜分析來(lái)評(píng)估，斯太爾克利用快速傅立葉變換(FFT)，從出口厚度數(shù)字化信號(hào)中分離所有周期分量，并依據(jù)所有軋輥轉(zhuǎn)速和尺寸，能夠辨別出大部分頻譜峰值，通過(guò)對(duì)頻譜選擇過(guò)濾同時(shí)結(jié)合反變換FFT技術(shù)，每個(gè)軋輥對(duì)出口厚度變化的影響都能測(cè)量出來(lái)。從上面分析中，我們知道軋輥偏心信號(hào)是包括多次諧波的高頻周期波，偏心信號(hào)的頻率與軋制速度成正比。在生產(chǎn)過(guò)程中，由于隨機(jī)噪聲、緩慢變化量等的存在，采集的偏心信號(hào)會(huì)出現(xiàn)突變、漂移等無(wú)規(guī)則變化，但總的偏心信息不會(huì)突變。軋輥更換以后，它的偏心量就基本上確定了。，并在短時(shí)間內(nèi)不會(huì)突變。根據(jù)這一特點(diǎn)，在每次換輥以后，在正常軋制狀態(tài)下，對(duì)軋制壓力信號(hào)進(jìn)行采集，從中提取偏心成分，建立偏心模型。進(jìn)而對(duì)軋輥的偏心進(jìn)行補(bǔ)償。

將采集到的軋制力信號(hào)進(jìn)行A/D轉(zhuǎn)換，然后進(jìn)行去均值(去掉直流分量)和相干時(shí)間平均處理，使噪聲干擾得以減弱或消除，提高信噪比；對(duì)預(yù)處理后的信號(hào)進(jìn)行快速傅立葉變換(FFT)，建立軋輥偏心參數(shù)模型。在軋輥上安裝一個(gè)光碼盤(pán)，以產(chǎn)生兩列脈沖。一列相對(duì)軋輥某一固定點(diǎn)，每轉(zhuǎn)一周發(fā)出一個(gè)脈沖，此脈沖作為采樣和控制的初始定位信號(hào)；另一列是軋輥每轉(zhuǎn)一周，光碼盤(pán)發(fā)出128個(gè)脈沖數(shù)列以進(jìn)行FFT，建立模型。相干時(shí)間平均方法適應(yīng)于周期信號(hào)或重復(fù)信號(hào)，它將各個(gè)周期信號(hào)和噪聲信號(hào)同時(shí)疊加后加以平均，如果噪聲是隨機(jī)的，則在疊加過(guò)程中會(huì)相互抵消，而信號(hào)是有規(guī)律的，疊加平均后幅值不變。必要條件是噪聲應(yīng)具有一定隨機(jī)性，而信號(hào)則具有重復(fù)性，且兩者互不相干。

設(shè)混有噪聲的信號(hào)為，信號(hào)反映系統(tǒng)的某種基本特征。在相同的條件下，具有重復(fù)性。噪聲為均值為零，方差為的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，且、互不相關(guān)。對(duì)第i個(gè)樣本采樣M次，然后做相干平均得：

(2.12)

傅立葉變換是在以時(shí)間為自變量的信號(hào)與以頻率為自變量的頻譜函數(shù)之間的變換關(guān)系。傅立葉變換可以辨別出或區(qū)分出組成任意波形的一些不同頻率的正弦波?？焖俑读⑷~變換是建立在離散時(shí)間概念上的，它不單純是對(duì)離散時(shí)間付立葉變換的近似，而是從離散付立葉變換出發(fā)，有一整套自成體系的、 離散時(shí)間域中的嚴(yán)格的基本定理和數(shù)學(xué)關(guān)系。離散付立葉變換能把一個(gè)有限長(zhǎng)度序列映射成另一個(gè)有限長(zhǎng)度序列，因而很適合于數(shù)字計(jì)算機(jī)計(jì)算。利用離散付立葉變換的一些代數(shù)結(jié)構(gòu)，可以實(shí)現(xiàn)高速算法，快速付立葉變換能使離散付立葉變換的計(jì)算時(shí)間成數(shù)量級(jí)的縮短?？焖俑读⑷~變換的出現(xiàn)使付立葉變換已不僅僅是一種理論概念，而且成為一種技術(shù)手段。

⑴ 離散付立葉變換[65 ,66]

當(dāng)用數(shù)字計(jì)算機(jī)對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析時(shí)，要求信號(hào)必須以離散值作為輸入，而計(jì)算機(jī)輸出所得的頻譜值，自然也是離散的。因此，必須針對(duì)各種不同形式信號(hào)的具體情況，或者在時(shí)域和頻域上同時(shí)取樣，或者在時(shí)域上取樣，或者在頻域上取樣。信號(hào)在時(shí)域上取樣導(dǎo)致頻域的周期函數(shù)，而在頻域上取樣導(dǎo)致時(shí)域的周期函數(shù)，最后將使原時(shí)間函數(shù)和頻率函數(shù)都成為周期離散的函數(shù)。

從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)意義上講，離散周期序列的付立葉變換是不存在的。但是，如果利用周期函數(shù)可能展開(kāi)為付立葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式并使用沖激序列，則可以把付立葉級(jí)數(shù)逐項(xiàng)作積分變換，從而在形式上得到付立葉變換對(duì)。

設(shè)為一周期連續(xù)信號(hào)，如果以抽樣間隔為的抽樣率進(jìn)行抽樣，抽樣結(jié)果為，則可表示為：

(2.13)

設(shè)一個(gè)周期內(nèi)的抽樣點(diǎn)數(shù)為，即到，則

可寫(xiě)成：

于是有：

(2.14)

對(duì)進(jìn)行抽樣等于先將它的一個(gè)周期抽樣成，然后把這一個(gè)周期進(jìn)行延拓。所以有：

(2.15)

式中上的符號(hào)表示周期重復(fù)，它是離散時(shí)間周期沖激序列，是的一個(gè)周期內(nèi)抽樣所得的數(shù)值；為抽樣序號(hào)，；為抽樣間隔；為的周期；為任意整數(shù)。

令，并將展開(kāi)成付立葉級(jí)數(shù)

(2.16)

式中：，的單位為，系數(shù)可表示為：

(2.17) (2.18)

對(duì)式（2.18）進(jìn)行付立葉變換得：

(2.19)

定義

(2.20)

由于

所以。這里是的個(gè)周期，。也就是說(shuō)的周期為，在每個(gè)周期內(nèi)，。于是，式(2.20)可寫(xiě)成：

(2.21)

上式說(shuō)明，周期離散時(shí)間序列經(jīng)付立葉變換后在頻域中是離散頻率的周期序列，這種形式的變換也稱為離散付立葉級(jí)數(shù)變換。在數(shù)學(xué)上，離散周期序列的付立葉級(jí)數(shù)變換可簡(jiǎn)明表示為：

(2.22)

(2.23)

為了方便，令，則式(2.22)和式(2.23)可表示為：

(2.24)

(2.25)

離散付立葉級(jí)數(shù)變換是周期序列，仍不便于計(jì)算機(jī)計(jì)算，但離散付立葉級(jí)數(shù)每個(gè)周期序列卻只有(一個(gè)周期內(nèi)取點(diǎn)個(gè)數(shù))個(gè)獨(dú)立的復(fù)值，只要知道它的一個(gè)周期的內(nèi)容，其它的內(nèi)容也就知道了。同時(shí)限制式(2.24)中的和式(2.25)中的都只在區(qū)間內(nèi)取值，就得到了一個(gè)周期的和一個(gè)周期的之間的對(duì)應(yīng)的關(guān)系：

(2.26)

(2.27)

這就是有限長(zhǎng)序的離散付立葉變換對(duì)。

上兩式所示的離散付立葉變換對(duì)可以看成是連續(xù)函數(shù)在時(shí)域、頻域取樣所構(gòu)成的變換，可以看作是連續(xù)付立葉變換的近似，是一種很有用的變換方法。然而，當(dāng)數(shù)據(jù)有較長(zhǎng)的長(zhǎng)度時(shí)，這種變換的計(jì)算量是很大的。分析式(2.26) 和式(2.27)可知，當(dāng)用直接方法計(jì)算DFT時(shí)，總運(yùn)算量及總運(yùn)算時(shí)間近似地比例于，這在很大時(shí)，所需的運(yùn)算量及總算時(shí)間近似地比例于，這在很大時(shí)，所需的運(yùn)算量非?？捎^，要想用DFT方法對(duì)信號(hào)作實(shí)量處理一般是有困難的。

⑵ 快速付立葉變換(FFT)

快速付立葉變換是為減少DFT計(jì)算次數(shù)的一種快速有效的算法。它使DFT的運(yùn)算大為簡(jiǎn)化，運(yùn)算時(shí)間一般可縮短一至二個(gè)數(shù)量級(jí)，其突出的優(yōu)點(diǎn)在于能夠快速高效地和比較精確地完成DFT的計(jì)算。

FFT改善DFT運(yùn)算效率的基本途徑是利用DFT中的權(quán)函數(shù)所固有的兩個(gè)特性，一個(gè)是的對(duì)稱性，即，另一個(gè)是的周期性，即。利用的對(duì)稱性，可根據(jù)正弦和余弦函數(shù)的對(duì)稱性來(lái)歸并DFT中的某些項(xiàng)，結(jié)果可使乘法次數(shù)約減少一半。假定是一個(gè)高復(fù)合數(shù)，可利用權(quán)系數(shù)的周期性，把點(diǎn)DFT進(jìn)行一系列分解和組合，使整個(gè)DFT的計(jì)算過(guò)程變成一個(gè)系列迭代運(yùn)算過(guò)程。因?yàn)榈\(yùn)算的計(jì)算量要比直接計(jì)算的計(jì)算量少很多，尤其是當(dāng)很大時(shí)，可能成百位甚至成千倍地減少?？焖俑读⑷~變換算法正是基于這一基本思想而發(fā)展起來(lái)的。權(quán)系數(shù)的周期性是導(dǎo)出FFT算法的一個(gè)關(guān)鍵因素，高復(fù)合性則是實(shí)現(xiàn)FFT算法的一個(gè)重要條件。根據(jù)不同的分解方法，可以導(dǎo)出多種FFT算法，如按時(shí)間抽取的FFT算法，按頻率抽取的FFT算法，的高復(fù)合性則是實(shí)現(xiàn)FFT算法的一個(gè)重要條件。根據(jù)不同的分解方法，可以導(dǎo)出多種FFT算法，如按時(shí)間抽取的FFT算法，按頻率抽取的FFT算法，為復(fù)合數(shù)的FFT算法等。時(shí)域抽點(diǎn)算法的迭代過(guò)程是基本在每級(jí)把輸入時(shí)間序列分解為兩個(gè)更短的子序列，頻域抽點(diǎn)算法的迭代過(guò)程則基于在每級(jí)把輸出頻率序列分解成兩個(gè)更短的子序列。

以2為基時(shí)域抽點(diǎn)FFT算法是最基本最常用的算法，基2算法要求采樣點(diǎn)數(shù)為2的整數(shù)次冪。設(shè)有一個(gè)點(diǎn)序列，而，首先將按序號(hào)之奇偶分解為兩個(gè)點(diǎn)的子序列，因而得：

(2.28)

如采用下列變量替換：(當(dāng)為偶數(shù)時(shí))，(當(dāng)為奇數(shù)時(shí))，則上式可變?yōu)椋?/p>

(2.29)

又因

所以上式又可改寫(xiě)為：

(2.30)

由于對(duì)于均有定義，而及只對(duì)有定義，因此，有必要就情況下對(duì)2.30作出說(shuō)明。根據(jù)DFT的周期性可得：

(2.31)

考慮到：

則上式可改寫(xiě)為：

(2.32)

經(jīng)整理后得：

(2.33)

式中：和可分別寫(xiě)成序列和的點(diǎn)DFT。

式(2.33)表明，一個(gè)點(diǎn)DFT可分解成兩個(gè)點(diǎn)DFT，而這兩個(gè)點(diǎn)DFT又可組合成為一個(gè)點(diǎn)DFT，效果是相同的，但是運(yùn)算量卻大不相同。很明顯，如果以一次復(fù)乘和一次復(fù)加稱為一次運(yùn)算，那么，計(jì)算兩個(gè)點(diǎn)DFT約共需運(yùn)算，此外再加上按式(2.33)組合需要次運(yùn)算，所以按先分解后組合的方式計(jì)算一個(gè)點(diǎn)DFT總共約需次運(yùn)算。當(dāng)較大(即)時(shí)，它的運(yùn)算量比直接運(yùn)算點(diǎn)的DFT約可減少一半。

因?yàn)槭?的冪，所以可進(jìn)一步將每個(gè)點(diǎn)子序列按奇偶號(hào)分解為兩個(gè)點(diǎn)子序列，再令每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)子序列組合成一個(gè)點(diǎn)DFT……。上述分解過(guò)程還可繼續(xù)進(jìn)行，直到第次分解，每個(gè)子序列都只有兩點(diǎn)。這樣，就把點(diǎn)DFT的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為級(jí)組合運(yùn)算，M級(jí)組合就是M級(jí)迭代過(guò)程。每次迭代要求N/2次復(fù)乘和N次復(fù)加，M級(jí)迭代約需次復(fù)乘和次復(fù)加。每次迭代要求次復(fù)乘和點(diǎn)DFT的迭代運(yùn)算過(guò)程是基于在每級(jí)把輸入時(shí)間序列分解成兩個(gè)更短的子序列，因此稱為時(shí)域抽點(diǎn)算法。圖2.4 說(shuō)明了此迭代運(yùn)算過(guò)程。

圖 2.4 N點(diǎn)基2 FFT的M級(jí)迭代過(guò)程

經(jīng)過(guò)FFT變換結(jié)果，就可以計(jì)算出各次諧波的振幅和相角，從而建立軋輥的偏心模型，其振幅A＝，相角，頻率隨軋輥速度變化而變化。

偏心模型還必須轉(zhuǎn)換為與采集脈沖對(duì)應(yīng)的離散點(diǎn)的模型，即將帶有三個(gè)參數(shù)的正弦波偏心模型轉(zhuǎn)換成128個(gè)脈沖對(duì)應(yīng)的離散點(diǎn)模型。軋輥偏心控制對(duì)檢測(cè)和控制系統(tǒng)的準(zhǔn)確性和快速性要求很高，定位定點(diǎn)采樣保證了通過(guò)數(shù)據(jù)處理獲得的偏心模型的唯一性和準(zhǔn)確性。把正弦波的一個(gè)周期分成N段，列成表格，用步長(zhǎng)DELTA掃過(guò)這個(gè)表，用序號(hào)作為角度參數(shù)，查表求出序列的值。假設(shè)每?jī)蓚€(gè)采樣點(diǎn)之間的時(shí)間間隔維t，則正弦頻率為。當(dāng)步長(zhǎng)不是整數(shù)時(shí)，采用點(diǎn)可能落在兩表值之間，可以采用線性內(nèi)插法加以修正。

⑶ 基2時(shí)域FFT算法的改進(jìn)(MMFFT)

針對(duì)軋輥偏心信號(hào)本身及其控制問(wèn)題的特點(diǎn)，對(duì)傳統(tǒng)的基2時(shí)域FFT算法進(jìn)行改進(jìn)(MMFFT)。改進(jìn)分兩部，第一步改進(jìn)的是取消傳統(tǒng)FFT方法對(duì)采樣持續(xù)時(shí)間的限制，使快速付立葉變換算法適用于處理軋輥偏心波動(dòng)這類周期未知或變動(dòng)的周期信號(hào)，同時(shí)又能抑制FFT固有的泄漏效應(yīng)。第二步改進(jìn)是就偏心控制問(wèn)題而言，將周期信號(hào)中各次正弦波的絕對(duì)頻率轉(zhuǎn)換為相對(duì)頻率，從而提高算法在偏心控制中應(yīng)用的可靠性和實(shí)用性。

① 第一步改進(jìn)(Modlified FFT)

人們對(duì)DFT感興趣主要是因?yàn)樗沁B續(xù)付立葉變換的一個(gè)近似。近似的準(zhǔn)確程度嚴(yán)格說(shuō)來(lái)是被分析波形的一個(gè)函數(shù)，兩個(gè)變換之間的差異是因DFT需要對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)取樣和截?cái)喽a(chǎn)生的。因而在應(yīng)用DFT解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常常遇到混疊效應(yīng)、柵欄效應(yīng)和泄漏效應(yīng)等問(wèn)題。

對(duì)一個(gè)連續(xù)信號(hào)x(t)進(jìn)行數(shù)字處理時(shí)，要在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算，而計(jì)算機(jī)的輸入只允許是數(shù)字信號(hào)，所以必須對(duì)連續(xù)信號(hào)x(t)進(jìn)行抽樣，即

(2.34)

式中：為對(duì)x(t)抽樣所形成的序列。T為抽樣間隔，為抽樣率，。如果抽樣率選得過(guò)高，即抽樣間隔過(guò)小，則一定的時(shí)間里抽樣點(diǎn)數(shù)過(guò)多，造成對(duì)計(jì)算機(jī)存貯量的需要過(guò)大和計(jì)算時(shí)間太長(zhǎng)。但如果抽樣率過(guò)低，則在DFT運(yùn)算中將在頻域出現(xiàn)混疊現(xiàn)象，形成頻譜失真，使之不能反映原理的信號(hào)。這樣將使進(jìn)一步的數(shù)字處理失去依據(jù)，而且也不能從這個(gè)失真的頻譜中恢復(fù)出信號(hào)來(lái)。因此，對(duì)連續(xù)信號(hào)的抽樣率需大于奈奎斯特頻率，即抽樣率至少應(yīng)等于或大于信號(hào)所含有的最高頻率的兩倍，即。

如果x(t)是一個(gè)周期信號(hào)，它只具有離散頻譜，那么，x(t)抽樣后進(jìn)行FFT運(yùn)算得出的頻譜就是它的離散頻譜。但是如果x(t)是個(gè)非周期函數(shù)，它的頻譜是連續(xù)的，把x(t)的抽樣進(jìn)行DFT運(yùn)算得到的結(jié)果就只能是連續(xù)頻譜上的若干點(diǎn)。因?yàn)檫@就好象是從柵欄的一邊通過(guò)縫隙觀看另一邊的景象一樣，所以稱這種效應(yīng)為柵欄效應(yīng)。如果不附加任何特殊處理，則在兩個(gè)離散的變換線之間若有一特別大的頻譜分量，將無(wú)法檢測(cè)出來(lái)。減少柵欄效應(yīng)的一個(gè)方法就是在原記錄末端填加一些零值變動(dòng)時(shí)間周期內(nèi)的點(diǎn)數(shù)，并保持記錄不變。這實(shí)質(zhì)上是人為地改變了周期，從而在保持原有線連續(xù)形式不變的情況下，變更了譜線的位置。這樣，原來(lái)看不到的頻譜分量就能夠移動(dòng)到可見(jiàn)的位置上。

泄漏效應(yīng)是由于在時(shí)域中對(duì)信號(hào)進(jìn)行截?cái)喽鸬摹?shí)際問(wèn)題中，所遇到的離散時(shí)間序列x(nT)可能是非時(shí)限的，而處理這個(gè)序時(shí)時(shí)，需要將其限制為有限的N點(diǎn)，即將它截?cái)?。這就相當(dāng)于將序列乘以一個(gè)矩形窗口，如果對(duì)有限帶寬的周期函數(shù)抽樣后的截?cái)嚅L(zhǎng)度并不正好是其周期的整數(shù)倍，就會(huì)導(dǎo)致離散付立葉變換和連續(xù)付立葉變換之間出現(xiàn)顯著的差異。這是因?yàn)?，根?jù)頻域卷積定理，時(shí)域中的，則頻域中與進(jìn)行卷積。這里，和分別是的付立葉變換，這樣將使截?cái)嗪蟮念l譜不同于它加窗以前的頻譜。泄漏效應(yīng)的產(chǎn)生是由于矩形窗函數(shù)的付立葉變換中具有旁瓣亦有一定帶寬而引起的。如圖2.5所示。為了減少泄漏，應(yīng)盡量尋找頻譜中窗函數(shù)，即旁瓣小、主瓣窄的窗函數(shù)?；蛘咄ㄟ^(guò)限制采樣的持續(xù)時(shí)間來(lái)抑制泄漏效應(yīng)。

圖2.5 矩形窗口的時(shí)域與頻域圖形

第9篇：數(shù)學(xué)建模魯棒性分析范文

摘 要 本文提出了一種標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波器的改進(jìn)算法——高斯混合采樣粒子濾波算法（gmsppf）。仿真結(jié)果表明，新算法在大幅降低計(jì)算復(fù)雜度的前提下，具有比標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法(sir-ppf)更好估計(jì)性能. 關(guān)鍵詞 卡爾曼濾波；粒子濾波；序列蒙特卡洛；貝葉斯濾波；高斯混合采樣 1 引言 貝葉斯方法為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的估計(jì)問(wèn)題提供了一類嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕鉀Q框架。它利用已知的信息建立系統(tǒng)的概率密度函數(shù)可以得到對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的最優(yōu)解。對(duì)于線性高斯的估計(jì)問(wèn)題，期望的概率密度函數(shù)仍是高斯分布，它的分布特性可用均值和方差來(lái)描述?？柭鼮V波器很好地解決了這類估計(jì)問(wèn)題[1]。對(duì)于非線性系統(tǒng)的估計(jì)問(wèn)題，最經(jīng)典并得到廣泛應(yīng)用的方法以擴(kuò)展的卡爾曼濾波為代表，這類方法需要對(duì)模型進(jìn)行線性化，同時(shí)要求期望的概率密度函數(shù)滿足高斯分布，然而在對(duì)實(shí)際系統(tǒng)建模時(shí)，模型往往是非線性非高斯的。此時(shí)，最優(yōu)估計(jì)很難實(shí)現(xiàn)。 粒子（particle）濾波器——序列重要性采樣粒子濾波器，是一種適用于強(qiáng)非線性、無(wú)高斯約束的基于模擬的統(tǒng)計(jì)濾波器[2]。它利用一定數(shù)量的粒子來(lái)表示隨機(jī)變量的后驗(yàn)概率分布，從而可以近似得到任意函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，并且能應(yīng)用于任意非線性隨機(jī)系統(tǒng)。本文介紹一種估計(jì)性能更好的粒子濾波算法——高斯混合采樣粒子濾波器(gmsppf)，相比通常意義上的粒子濾波算法（sir-pf），gmsppf粒子濾波器具有更小的系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的均方誤差和均值。 2 貝葉斯濾波問(wèn)題 貝葉斯濾波用概率統(tǒng)計(jì)的方法從已觀察到的數(shù)據(jù)中獲得動(dòng)態(tài)狀態(tài)空間（dss）模型參數(shù)。在dss模型中，包含狀態(tài)和觀測(cè)兩個(gè)方程[3][4]。其中狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程（state equation）通常寫(xiě)作 （1） 這里，是已知，且是白噪聲獨(dú)立的隨機(jī)序列，而且分布是已知的。觀測(cè)方程表達(dá)式寫(xiě)為 （2） 這里：是白噪聲序列，獨(dú)立且分布已知。并且滿足。 圖1描述了dss模型中狀態(tài)轉(zhuǎn)移和似然函數(shù)的關(guān)系。假設(shè)初始時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)分布已知，k時(shí)刻的已知信息序列表示。 圖1 動(dòng)態(tài)狀態(tài)空間模型（dssm） 這樣，貝葉斯估計(jì)的問(wèn)題理解為：利用觀測(cè)到的信息yk，求解系統(tǒng)狀態(tài)的概率分布。若系統(tǒng)狀態(tài)的變化是隱馬爾柯夫過(guò)程，即當(dāng)前系統(tǒng)的狀態(tài)信息只與上一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)，可以通過(guò)預(yù)測(cè)和更新的途徑求解。 （3） 這里： （4） 假設(shè)xk，wk是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，滿足 。于是，參考（1）式可以把（4）式寫(xiě)為 （5） 其中，是采樣函數(shù)。當(dāng)是已知時(shí)，xk可以通過(guò)確定性方程（1）得到。 依據(jù)貝葉斯準(zhǔn)則，系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)量 （6） 其中， （7） 另外，在給定 xk，vk，分布的條件下， yk的條件概率依據(jù)測(cè)量方程（2）可以表示為如下形式 （8） 由（6）式可以看出，后驗(yàn)概率密度包含3個(gè)部分。先驗(yàn)概率似然函數(shù)和證據(jù)。如何獲得這三項(xiàng)的近似是貝葉斯濾波的核心問(wèn)題。更新方程（5）中觀測(cè)值 用來(lái)對(duì) 的先驗(yàn)預(yù)測(cè)值修正，從而獲得狀態(tài) 的后驗(yàn)概率。方程（3）和（6）的遞歸關(guān)系構(gòu)成了求解貝葉斯估計(jì)問(wèn)題的兩個(gè)步驟：預(yù)測(cè)與更新。如果(1)，(2)中的hk，fk是線性的，且噪聲wk，vk滿足高斯白噪聲，可以把貝葉斯估計(jì)問(wèn)題簡(jiǎn)化為卡爾曼分析解。但這類問(wèn)題僅僅是實(shí)際問(wèn)題中很小的一個(gè)部分。對(duì)于更多的問(wèn)題，很難得到分析解。只有通過(guò)對(duì)問(wèn)題的近似線性處理(擴(kuò)展卡爾曼濾波)或其它途徑（蒙特卡洛方法）實(shí)現(xiàn)非線性、非高斯問(wèn)題的解。依據(jù)后面分析問(wèn)題需要，這里重點(diǎn)對(duì)蒙特卡洛方法積分進(jìn)行說(shuō)明。 3 蒙特卡洛方法 在過(guò)去的二十多年，蒙特卡洛方法得到了很大的發(fā)展。其優(yōu)點(diǎn)就是用系列滿足條件的采樣點(diǎn)及其權(quán)重來(lái)表示后驗(yàn)概率密度。蒙特卡洛方法采用統(tǒng)計(jì)抽樣和估計(jì)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行求解。按照其用途，可以把蒙特卡洛方法分為三類[5]：蒙特卡洛抽樣、計(jì)算、優(yōu)化。其中，蒙特卡洛抽樣是尋找有效的、方差很小的、用于估計(jì)的抽樣方法。蒙特卡洛計(jì)算則是設(shè)計(jì)產(chǎn)生滿足特定要求隨機(jī)數(shù)的隨機(jī)發(fā)生器的問(wèn)題。而蒙特卡洛優(yōu)化是采用蒙特卡洛思想對(duì)實(shí)際中的非凸非差分函數(shù)優(yōu)化求解。對(duì)于，可以由概率空間p(x)中抽取n個(gè)樣本，用近似值作為的解。大數(shù)定理證明：收斂于，并且滿足條件。這里，是的方差。不同于確定性的數(shù)字計(jì)算，蒙特卡洛近似的一個(gè)重要特點(diǎn)就是估計(jì)的精度獨(dú)立于狀態(tài)空間的維數(shù)。而且，積分估計(jì)的方差與采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)成反比。顯然，蒙特卡洛近似方法的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：首先如何由一個(gè)樣本空間中抽取n個(gè)采樣點(diǎn)，用來(lái)表征后驗(yàn)概率密度。其次就是計(jì)算。 重要性抽樣（important sampling）解決了如何借助于已知分布來(lái)對(duì)實(shí)現(xiàn)有效采樣的問(wèn)題，由marshall 1965年提出。當(dāng)數(shù)據(jù)空間十分巨大時(shí)，重要性抽樣只對(duì)其中“重要”區(qū)域進(jìn)行采樣，節(jié)省了計(jì)算量。對(duì)于高維采樣空間模型，如統(tǒng)計(jì)物理學(xué)、貝葉斯統(tǒng)計(jì)量，這一點(diǎn)尤為重要。重要性抽樣的中心思想是選擇一個(gè)覆蓋真實(shí)分布p（x）的建議分布q（x）[8]。這樣， (9) 對(duì)q（x）作蒙特卡洛抽樣，假設(shè)粒子數(shù)目為n，有 (10) 其中，稱為重要性權(quán)重，再作歸一處理， (11) 是歸一化權(quán)重。為了減小估計(jì)的方差，選擇的建議性分布q（x）與p（x）盡可能匹配。通常，建議分布q（x）需要一個(gè)長(zhǎng)的拖尾，這樣可以解決區(qū)間之外的干擾。確切的說(shuō)，匹配的q（x）必須與p（x）f（x）成正比[9]。當(dāng)q（x）與p（x）不匹配時(shí)，w（x(i)）是不均勻分布的，在整個(gè)遞歸迭代的過(guò)程中，存在大量的權(quán)值極小的樣本，而這些樣本對(duì)估計(jì)的貢獻(xiàn)很小。事實(shí)上，權(quán)值較大的少數(shù)樣本決定蒙特卡洛采樣的估計(jì)精度。大量時(shí)間損耗在這些“無(wú)關(guān)緊要”的粒子計(jì)算上，即所謂的粒子退化現(xiàn)象（degeneracy problem）。目前，標(biāo)準(zhǔn)的粒子濾波器選擇先驗(yàn)概率（prior）作為建議分布。 對(duì)于粒子退化現(xiàn)象，采樣—重要性重采樣方法給出了很好的解決途徑。其基本思想就是通過(guò)在兩次重要性采樣之間增加重采樣步驟，消除權(quán)值較小的樣本，并對(duì)權(quán)值較大的樣本復(fù)制，降低了計(jì)算的復(fù)雜度。在o(n)時(shí)間復(fù)雜度范圍內(nèi)可以已排序的均勻分布序列作重采樣處理。 對(duì)重采樣（resampling）處理，新的采樣結(jié)果放在數(shù)組，具體的算法用偽碼語(yǔ)言寫(xiě)為如下的形式： 步驟1：令這里必須注意是隨機(jī)變量的累計(jì)概率密度序列。 步驟2：初始假設(shè)，當(dāng)， 產(chǎn)生一組序列分布。對(duì)一個(gè)固定的j，分別用逐一比較，一旦，就可以得到一組新的樣本集合。如此循環(huán)直到。需要說(shuō)明的是，重采樣方法在消除粒子退化問(wèn)題的 同時(shí)，也帶來(lái)了其它兩個(gè)問(wèn)題：首先，降低了粒子運(yùn)算并行執(zhí)行的可能性；其次，由于權(quán)值較大的粒子多次被選擇，粒子的多樣性減少。這種情況尤其在小過(guò)程噪聲條件下表現(xiàn)更為明顯[11]。 圖2 sir-pf重要性采樣與重采樣示意圖 4 gmsppf濾波算法 如前所述，利用序列重要性采樣和重采樣的方法，粒子濾波可以有效的遞歸更新后驗(yàn)概率的分布。但是，由于對(duì)粒子未加假設(shè)，大量的粒子在處理非線性、非高斯問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)了計(jì)算的高復(fù)雜性問(wèn)題。另外，由于少數(shù)權(quán)值較大的粒子反復(fù)被選擇，粒子坍塌明顯。文獻(xiàn)[4]提出了在重要性采樣步驟的建議分布的生成階段“搬運(yùn)”粒子到似然較高區(qū)域，可以緩解坍塌，同時(shí)提高估計(jì)的性能。但是不可避免的是對(duì)每一個(gè)粒子的后驗(yàn)概率處理，使得計(jì)算的復(fù)雜性進(jìn)一步加劇。鑒于此種情況，這里介紹一種新穎的高斯混合采樣粒子濾波器（gaussian mixture sigma point particle filter，gmsppf）。gmsppf算法利用有限高斯混合模型表征后驗(yàn)概率分布情況，可以通過(guò)基于重要性采樣的加權(quán)的后驗(yàn)粒子，借助于加權(quán)的期望最大化算法（weighted expection maximization）替換標(biāo)準(zhǔn)重采樣步驟，降低粒子坍塌效應(yīng)。

4.1 基于高斯混合近似的采樣卡爾曼濾波器 根據(jù)最優(yōu)濾波理論，一個(gè)概率密度p(x)都可以寫(xiě)作高斯混合模型（gaussian mixture model）。即，這里，g是高斯分量的個(gè)數(shù)，是高斯分量的權(quán)重，是以向量為均值，以p(g)為協(xié)方差矩陣的隨機(jī)向量x的高斯分布。 考慮dss狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和觀測(cè)方程，假設(shè)先驗(yàn)概率及噪聲密度服從高斯混合模型（gmm）。這樣，預(yù)測(cè)的先驗(yàn)概率密度滿足，更新后。 這里，。在此基礎(chǔ)之上，預(yù)測(cè)的先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率對(duì)應(yīng)的均值和方差可以通過(guò)采樣卡爾曼濾波器（sigma point kf）計(jì)算。 4.2 基于觀測(cè)更新的重要性采樣（important sampling） 前已敘及重要性抽樣是一種蒙特卡洛方法，即用一組帶有權(quán)值的樣本數(shù)據(jù)來(lái)表征隨機(jī)變量的概率密度。利用dss模型的一階馬爾柯夫本質(zhì)和給定狀態(tài)的觀測(cè)值依賴性，可以推導(dǎo)遞歸的權(quán)值更新方程，這里僅對(duì)于給定的粒子而言。在gmsppf算法中，用gmm近似來(lái)。作為建議分布。由于包含了最新的樣本數(shù)據(jù)，使得粒子聚集在高似然區(qū)域，一定程度減少了粒子坍塌效應(yīng)。另外，使用預(yù)測(cè)的先驗(yàn)概率平滑權(quán)值更新方程中的，這是因?yàn)間msppf算法用gmm表示后驗(yàn)概率，本次后驗(yàn)同時(shí)又是下一個(gè)時(shí)間步的先驗(yàn)概率，gmm模型中高斯核對(duì)后驗(yàn)概率做了平滑處理。基于觀測(cè)更新步驟的重要性采樣方法中對(duì)粒子不作任何假設(shè)，對(duì)非線性、非高斯問(wèn)題具有很強(qiáng)的魯棒性。 4.3 采用加權(quán)的em算法做重采樣和gmm還原 基于觀測(cè)更新步驟的重要性采樣輸出是一組加權(quán)的粒子，在標(biāo)準(zhǔn)的粒子濾波器中，這些粒子必須作重采樣處理丟棄小權(quán)值粒子，同時(shí)對(duì)權(quán)值較大的粒子做放大處理。通過(guò)這種處理，可以有效的防止粒子集合的方差增加太快。不幸的是，重采樣步驟只對(duì)當(dāng)觀測(cè)似然微弱、大量粒子聚集極少數(shù)粒子副本情況有效。在gmsppf算法中，采用加權(quán)的期望最大（weighted expection maximization）直接得到gmm模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)加權(quán)粒子的最大似然擬合，這就相當(dāng)于對(duì)粒子的后驗(yàn)概率做了平滑，避免了粒子坍塌問(wèn)題，同時(shí)，gmm模型中的高斯核的個(gè)數(shù)減少到g，防止其呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，降低了算法復(fù)雜度。 為了比較算法的性能，系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的條件均值，均方誤差（error convariane）可以通過(guò)兩個(gè)方法計(jì)算，即在加權(quán)的em算法平滑之前，用下面公式

求解，描述了系統(tǒng)的均值與均方誤差性能。 5 算法性能分析與結(jié)論 這里，給定系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題的算法評(píng)估模型 (12) 是噪聲，。另外，非平穩(wěn)觀測(cè)模型 (13) ，其中，觀測(cè)噪聲服從高斯分布。如果給定含噪的系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)值yk，采用兩種不同的算法：標(biāo)準(zhǔn)的粒子濾波算法sir-pf以及gmsppf算法對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)xk估計(jì)。每次實(shí)驗(yàn)共做150次，每次的觀察樣本重新產(chǎn)生，sir-pf算法中粒子的個(gè)數(shù)是250個(gè)。gmsppf算法中采用兩種方案：第一種方案用5個(gè)高斯核擬合狀態(tài)后驗(yàn)概率。狀態(tài)噪聲vk，觀測(cè)噪聲nk各用一個(gè)高斯核擬合。第二種方案則用3個(gè)高斯核擬合gamma(3，2)分布的拖尾狀態(tài)噪聲，這里擬合方法采用em算法。圖3、圖4描述了系統(tǒng)的隱狀態(tài)和觀測(cè)值及sir-pf，gmsppf算法系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)值。 圖3 sir-pf粒子濾波器狀態(tài)估計(jì) 圖4 gmsppf粒子濾波器狀態(tài)估計(jì) 采用4.3部分的均方誤差和均值計(jì)算公式對(duì)不同算法對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)性能作了比對(duì)。圖3、圖4曲線表明，在系統(tǒng)的觀測(cè)噪聲nk均方誤差很小，而過(guò)程噪聲服從具有長(zhǎng)的拖尾 分布時(shí)，采用轉(zhuǎn)移概率作為建議分布的標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波器性能很差。這是因?yàn)橛^測(cè)方程中峰值似然函數(shù)和系統(tǒng)狀態(tài)急劇的跳躍變化產(chǎn)生的結(jié)果。盡管可以通過(guò)采樣卡爾曼(sigma-point)濾波器將粒子向似然峰值區(qū)域搬動(dòng)解決這一問(wèn)題，但是也使得計(jì)算量加大。gmsppf算法兩種不同方案都具有比sir-pf更好的系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)性能，均方誤差比后者數(shù)量級(jí)降低了1/103-1/104。與1個(gè)高斯核擬合過(guò)程噪聲的gmsppf算法比較，3個(gè)高斯核擬合算法性能更好，但時(shí)間復(fù)雜度同樣有所提高。 由于gmsppf算法在大幅度降低了算法的計(jì)算復(fù)雜度同時(shí)，可以獲得精確的系統(tǒng)估計(jì)性能。所以說(shuō)，gmsppf算法為粒子濾波理論實(shí)時(shí)應(yīng)用，如目標(biāo)定位（單目標(biāo)與多目標(biāo)）、時(shí)變信道估計(jì)、圖像增強(qiáng)、機(jī)器故障診斷以及語(yǔ)音信號(hào)處理等提供了一個(gè)新的方案。 參考文獻(xiàn) [1] y.c.ho and r.c.k.lee，”a bayesian approach to problems in stochastic estimation and control”ieee trans.automat.contr. vol .ac-9.pp.333-339 [2]a.doucet，n.freitas，n.gordon. sequential monte carlo methods in practice [m].springer [3]b.d.o. anderson and j.b.moore .optimal filtering . [m]prentice hall englowcod cliffo，nj. 1979 [4]n.j.gordon，d.j.salmond，a.f.m.smith，novel approach to nonlinear/non-gaussian bayesian state estimation，iee proceedings vol140，no2，april 1993 [5]muller，“monte carlo integration in general dynamic models“ contemp .math.1991，115，pp，145-163 [6]fredric gustafsson，niclas bergman，”particle filters for position，navigation and tracking “，final version for ieee transactions on signal processing special issue on monte carlo methods for statistical signal [7]arnaud doucet，simon godsill，”on sequential monte carlo sampling method for bayesian filtering “statistics and computing(2000)，10，197-208，recived july 1998 and accepted august 1999 [8] jayesh h.kotecha and petar m.djurric，”gaussian particle filtering ”in proc. workshop statistical signal process.singapore，aug.2001 [9]j.s.liu&r.chen.”sequential monte carlo methods for dynamical systems”.journal of the amerian statisticalassociation，1998，volume 93.pp.1032-1044 [10] zhe chen，”bayesian filtering：from kalman filter to particle filters，and beyond” manuscript in 2003，april [11] jayesh h.kotecha and petar m.djurric，”gaussian sum particle filtering ” ieee transactions on signal processing，2003，vol.51.no.10.october [12]m.sanjeev arulampalam，simon maskell，neil gordon，and tim clapp，”a tutorial on particle filteolinear/non- gaussian bayesian tracking”，ieee transaction on signal processing，vol，50，no 2february 2002